Question

うな

(4)って工夫して計算できますか…？
(2)を利用して(α^2+β^2+γ^2)^2で計算しようと思ったのですが、計算量が多すぎて嫌になってしまって🥲
何か良い解法がありましたら教えていただきたいです🙇🏻‍♀️

325 3次方程式 4x²-5x+8=0 の3つの解をα, β, y とする
とき、 次の式の値を求めよ。
1 1
(1) + +
1
a B Y
(3) α3+3+23
(5) (3-α)(3-β) (3-y)
(2) a²+B2+y2
(4) α^+B4+y^
(6) (a+B)(B+y)(y+a)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

α⁴+β⁴+γ⁴
＝(α²+β²+γ²)²-2{(αβ+βγ+γα)²-2αβγ(α+β+γ)}
＝676-2(25+64)
＝676-178
=498
～～～～～～～～～～
x³-4x²-5x+8=0の解の1つがx=1なので,これをαと置くと
1+β+γ＝4⇔β+γ=3
βγ＝-8
β²+γ²＝3²-2・(-8)＝25
β⁴+γ⁴＝25²-2・64＝497
∴α⁴+β⁴+γ⁴＝1+β⁴+γ⁴＝498
α=1のように単純に求めることができない場合が多いと思うので,普通は1つ目の解法でやります.

うな

やはり地道に計算していく必要があるのですね🤧理解できました；＿；
別解の方も参考になります！ありがとうございます🙇🏻‍♀️💖
私は(4)のα^4+β^4+γ^4を(α^2+β^2+γ^2)^2に変形し、(2)で求めたα^2+β^2+γ^2をそのまま当てはめて26^2としたのですが、これではいけない理由がいまいちわからなくて…
もしよろしければ教えていただきたいです＞＜
何度も申し訳ないです😭

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

(α²+β²+γ²)²＝α⁴+β⁴+γ⁴+2(α²β²+β²γ²+γ²α²)です.
(α²+β²+γ²)²＝α⁴+β⁴+γ⁴ではありません.
例えば,α＝β＝γ＝1のとき,
(α²+β²+γ²)²＝(1²+1²+1²)²＝3²=9
α⁴+β⁴+γ⁴＝3　となり,
(α²+β²+γ²)²≠α⁴+β⁴+γ⁴　です.

うな

あ、、余分な部分が出てくるのをスルーしてしまっていました…🤦🏻‍♀️本当すみません＞＜;
ご丁寧にありがとうございました😭💖