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高中
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ド・モアブルの定理を用いて、 次の方程式を解け。 (1) z¹=-16 (2) z³=8i
ドモアブルの定理

解答

✨ 最佳解答 ✨

ドモアブルの定理
(cosθ+isinθ)ⁿ=cosnθ+isinnθ から

(1)
z=r(cosθ+isinθ)として、
z⁴=r⁴(cosθ+isinθ)⁴
→ z⁴=r⁴(cos4θ+isin4θ)…①

z⁴=-16より、
→ -16=16(cos(π)+isin(π))…②

①②から
r⁴=16、4θ=π+2nπ より、
r>0より、r=2、θ=(π/4)+(nπ/2)(nは整数)

n=0のとき、θ=π/4
z=2(cos(π/4)+isin(π/4)
 =2(1/√2+i/√2)
 =√2+√2i

n=1のとき、θ=3π/4
z=2(cos(3π/4)+isin(3π/4))
 =2(-1/√2+i/√2)
 =-√2+√2i

n=2のとき、θ=5π/4
z=2(cos(5π/4)+isin(5π/4))
 =2(-1/√2-i/√2)
 =-√2-√2i

n=3のとき、θ=7π/4
z=2(cos(7π/4)+isin(7π/4))
 =2(1/√2-i/√2)
 =√2-√2i

よって、z=√2±√2i、-√2±√2i

おにぎりゃー

ありがとうございます、解決しました

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