Question

んぬ。

（3）なんですけど、解答を読んでも全くわかりません。なぜそのようなプロセスで解くことができるのか、詳しく教えてください。

12 2019年度 文系〔2〕・理系〔4〕
次のように 1,3,4を繰り返し並べて得られる数列{an} とする。
1,3,4, 1,3,4, 1, 3, 4, …..
すなわち, a=1, a2=3, a3=4で, 4以上の自然数nに対し, an = aw-3 とする。 こ
の数列の初項から第n項までの和をSとする。 以下の問に答えよ。
(1) S" を求めよ。
(2) S=2019となる自然数nは存在しないことを示せ。
(3) どのような自然数kに対しても, Sm=k" となる自然数n が存在することを示せ。
Level B

(3)
•k=4l(l=1, 2, 3, ...) のとき
k² = (41)² = 8 (21²)
であるので, m=212 とおけば, (1)より
n=3mのとき
S=S3m=8m=8 (212) =k2
•k=41+1(Z=0, 1, 2, …..) のとき
k² = (41+ 1)² = 161² +81+1=8 (21² + 1) + 1
であるので,m=212+1 とおけば,(1)より
n=3m+1のとき
S=S3m +1=8m +1=8 (212+1)+1=k²
•k=41+2 (Z=0, 1, 2, ...) のとき
示しk= (41+2)^=1672 + 16/+4=8 (212 +21) +4
であるので, m=212+21 とおけば, (1) より
n=3+2のとき
S=S3m +2=8m+4=8(212+21) +4=k²
th
•k=41+3(Z=0, 1, 2, ･･･)のとき
k² = (41+3)² = 161² +241 +9=8 (21²+3/+1) +1
であるので, m=212+3l+1 とおけば, (1) より
n=3m+1のとき
Sn=S3m+1=8m +1=8 (21² +31+1) +1=k²
(証明終)
以上より,どのような自然数んに対しても,S,=k となる自然数nが存在する。