Question

大学生

(1)で解説の線引きした部分がなぜそのようになるのか分かりません。なぜnに3を代入していいのですか？？教えていただきたいです。

6
ve+fa
は整数とする。 合同式を用いて, 次のものを求めよ。
nを8で割った余りが3であるとき, n2+2n+5を8で割った余り
(2)
17で割った余りが15であるとき, 3m² +5n+9を17で割った余り
(3) n35で割った余りが2であるとき, n4+3+4を35で割った余り
(4) n を41で割った余りが38であるとき, n+7n²+ 8 を 41 で割った余り
nak+口とおく..

6 (1) n=3 (mod 8) のとき n2+2n+5=32+2・3+5=204 (mod8)
よって,n2+2+5を8で割った余りは 4
(2) 15-2 (mod 17) であるから n=-2 (mod 17)
したがって 3n2+5n+9=3・(−2)²+5・(-2)+9=11 (mod 17)
よって,3n2+5+9を17で割った余りは 11
(3) n=2 (mod 35) のとき n4+3n3+4=24+3.23+4=44≡9 (mod35)
よって, n +3+4を35 で割った余りは 9
(4) 38-3 (mod 41) であるから n = -3 (mod 41)
したがって n³ +7n²+8=(-3)³ +7 (-3)²+8=44=3 (mod 41)
よって, n3+7n²+8を41で割った余りは 3

Answer 1

TAA

合同式の性質を覚えましょう。(証明は教科書などを参照してください)

主に①〜③の性質があり、今回これを使います。

代入するというより、この性質を組み合わせて式変形をするというイメージです。

合同式は、同じもので割った「余りが等しい」という意識を常にもって、この性質を使っていけばとても有効なツールとなります。覚えておくといいでしょう。少し慣れが必要ですが。

Answer 2

高1

この場合合同式を使わなくてもn=8k + 3 代入してその式を8で割ると答えが出ますその時実は8kを含む項は8で割れるので0となり8kをないものと考えることができるためn= 3として考えられます
合同式についてはYouTubeに色々わかりやすい動画があるのであまり理解できない状態なら見ることをお勧めします
わかりにくくてすいません

Answer 3

Seifert-van Kampen

n=8k+3 とおいて n²+2n+5 に代入してみると
n²+2n+5=(8k+3)²+2(8k+3)+5=64k²+64k+20
となります
このとき，定数項以外の係数が 8 の倍数（この場合 64 ）になってるので， 8 で割った余りを考えるときに定数項以外を無視して，定数項（この場合 20 ）だけを考えればいいことがわかりますね

n=8k+3 を代入したときの定数項は n=3 を代入した値に等しいので，n=3 を代入した値の余りを求めればいいことになります

もっと一般的な話をすると（理解できなかったら流してもらってかまわない）
m,n を整数として
m を a で割った商を k, 余りを b
n を a で割った商を l, 余りを c とします
このとき m=ak+b,n=al+c で以下の式が成り立ちます
m+n≡b+c (mod a)
mn≡bc (mod a)

これは一言でいえば
「整数同士の和(積)の余りは，整数の余りを出してからそれら同士を足した(掛けた)ものの余りに等しい」です