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00000
基本例 157 三角形の辺と角の大小
△ABCにおいて, sin A: sin B: sinC=√7: :1が成り立つとき
(1) △ABCの内角のうち、最も大きい角の大きさを求めよ。
(2) △ABCの内角のうち、2番目に大きい角の正接を求めよ。
指針
解答
なぜ
使うの
練習
② 157
(1) 正弦定理
(1) 正弦定理より、a: bic=sin A sin B: sin C が成り立つ。
これと与えられた等式から最大辺がどれかわかる。
三角形の辺と角の大小関係より、最大辺の対角が最大角
であるから 3辺の比に注目し, 余弦定理を利用。
a<b>A<B a=bA=B a>b⇒A>B
B
(三角形の2辺の大小関係は、その対角の大小関係に一致する。)
(2) まず、2番目に大きい角のcos を求め, 関係式1+tan20=
COS A=
a
b
C
sin A sin B sin C
cos B=
a:b:c=sinA: sin B: sin C
これと与えられた等式から
よって, ある正の数んを用いて
a=√7k, b=√3k,c=k SI-81+³81
と表される。ゆえに, α が最大の辺であるから, A が最
大の角である。
+008-as a
余弦定理により
(√3k)²+k²-(√7 k)²
2-√3 k.k
よって, 最大の角の大きさは
A=150°
(2) (1) から2番目に大きい角はBである。
余弦定理により
k2+(√7k)²2-(√3k)²
2.k. √7 k
等式1+tan² B=
1
cos2 B
から
1=
tan B=
3
V 25
により
a:b:c=√7:13:1
=
tan'B
-(2√7)²-1 28
cos² B
5
25
A> 90° より B90° であるから
tan B>0
したがって
(*)014
3
5
-3k²
2√3k²
5k2
2√7k²
|--
-1=
3
2
5p0
2√7
549
25
/p.248 基本事項 4 重要 159
30-
5
8
7
sin A sin B sin C が成り立つとき
1
cos²0
®
を利用。
6
a
sin A sin B
a/a: b=sinA: sinB
b
・から
sin B sin C
b:c=sin B: sinC
合わせると (*) となる。
kを正の数として
C
から
△ABCにおいて
(1) AABCの内角のうち、2番目に大きい角の大きさを求めよ。
(2) ABC の内角のうち,最も小さい角の正接を求めよ。
のとりうるの
| ABCが魅角三冊
(1) 三角形の成立
b S=k
とおくと
a=√7k, b=√3k.
c=k
a>b>cからA>B>C
よって A が最大の角で
ある｡
√3 k
B
√7 k
三角比の相互関係。
(p.238 例題 144 参照。)
(1) の結果を利用。
△ABC は鈍角三角形。
C
[類 愛知工大]
851
VD #=38 7=81
(0) 角三角形に
角となる場合を
例えば CA (3)
∠Bが
となり、
等式が得られる。
軽よって
(①) 三角形の成立条件
く
(2) どの辺が最大辺に
[] I<x<3のとき
の対角が90°より
ゆえに
すなわち
よって
ゆえに
<x<3との共通料
2xくらのとき
X²
(x₁
