Question

ゲスト01

この問題の解答が知りたいです。解説が有れば助かります。

1匹万円
速効を使って問題を解く
アプローチ
n=1
ある日,太郎さんと花子さんのクラスでは,数学の授業で次の命題を証明した。
A3m
命題「nを正の整数とする。が有理数ならば、nは正の整数である。」
ただし,有理数とは、整数んと0でない整数を用いて分数
1
この命題を用いて、次の命題を証明する宿題が出された。 ⑤ 5678
宿題 命題を2以上の整数とする。 実数の集合A={√n,√n+1,√n+2,√n+3}について,
Aは少なくとも3個の無理数を要素にもつ。」を証明しなさい。
の形に表される数である。
PUZZ
太郎さんと花子さんは宿題について,次のような会話をした。 二人の会話を読んで、次の問いに答
えよ｡
3つ
4A51617
花子: 先生は背理法を用いて証明するように言っていたね。
太郎 : 命題が成り立たないと仮定して矛盾を導くんだったね。 でも、わかりにくいな。
花子:まず、この命題が何を表しているのか具体的に見てみようよ。 n=2のとき集合Aは,
A={√2,3,2√5}だね。 n=3のとき集合Aは,A1√3,2,√5,√6}だね。
太郎: どちらも、集合Aの要素の個数は4個で,確かに無理数が3個あるね。 他のnはどうかな。
√2&2 <15
(太郎さんと花子さんはn=10まで書き出してみた。)
(i)
124
太郎 : 集合 A は有理数を要素にもたないこともあるんだね。 集合を図で表現して整理してみよう。
実数全体の集合を全体集合 U, 有理数全体の集合を Vとすると、集合Vと集合Aの包含
関係はどうなるかな。
と
子: 次のように図をかいてみたよ。 (i) から (i)までの
部分の要素の個数に注目する
と、包含関係と要素の個数の組み合わせは5つの場合が考えられるね。
(iii)
U

2)
太郎n=2のときは,アで, 「() の包含関係で
部分の要素の個数が4個」 となる最小の
れはイだね。 5
花子:nによって、集合Aが決まっていくけど, (i)の部分の要素の個数はウ個以上」
になることはないね。
太郎 : 宿題の命題は,
(h=5
(1) 集合Vと集合の包含関係および,
合が考えられる。
ア
I
一つずつ選べ。 ただし, 同じものを繰り返し選んでもよく、
い。 また,イ, ウ
に当てはまる最も適当な数値を答えよ。
⑩ [(i) の包含関係で,
① 「(ii)の包含関係で,
② 「(ii)の包含関係で,
③ 「(ii) の包含関係で,
またはオであることを表しているんだね。
④ 「(i) の包含関係で,
と
部分の要素の個数は、次の⑩~④の5つの場
オに当てはまる最も適当なものを、次の⑩~④のうちから
I
オ
は解答の順序を問わな
部分の要素の個数は4個」
部分の要素の個数は1個,
部分の要素の個数は2個,
部分の要素の個数は3個,
部分の要素の個数は4個」
題 「すべて無理数」&たつの無理数と1つの育
花子: 背理法では,はじめに,命題の否定を仮定して証明を進めていくから、この宿題 の場合は,
まず、 カ と仮定して, 矛盾することを導いていけばいいね。
部分の要素の個数は3個」
部分の要素の個数は2個」
部分の要素の個数は1個」
集合Aの要素がすべて無理数である
集合Aが1個だけ有理数を要素にもつ
② 集合 A が2個以上の有理数を要素にもつ
③ 集合Aの要素がすべて有理数である
カに当てはまる最も適当なものを、次の⑩~③のうちから一つ選べ。
・矛盾するのを

JAの素がすべて有理数}
花子会カと仮定するということは、集合Aの要素のうちどれが有理数であるかの場合分けが必
要だけど、手始めに,「nとn+1 がともに有理数である」と仮定して,宿題の証明を
考えてみようよ。
太郎:授業で学んだ命題から、nとn+1 が有理数ならば√n+1は正の整数だから,正の
整数m, m' を用いて,√n=m, √n+1=m' とおけるね。
花子: m' > mだから, m'-m a 1だね。
2
ABB : m² −m=√n+1−√n = √√n+1+√n
1
月・
解答
番号
花子 : だから矛盾が導けるね。
太郎: nとn+2など, A の要素の他の組み合わせでも同じように矛盾を導いていけばいいね。
a
b
C には、不等号が入る。 a
b
最も適当なものを、次の⑩~③のうちから一つ選べ。 キ
ア
イ
/A
H
オ
カ
キ
di c
③
①
co All All VII VII
VV All A
<
b
OVVAA
1
√√3+√2
C
0000
ウ 0000 3456789
土①②③ 56789
00002
00002
200
(8) (9)
解答欄
00002446676903 Sk
(8) 9
789
C となるね。
沸
C に当てはまる組み合わせとして
20
101 0

背理法