三角比の2次方程式の解の個数
例題118
20180°とする. 0の方程式 2cos'0+ sin0+α-3=0 ...... ① に
考え方 例題 87 (p.164~165) の関連問題
sin=t とおくと,①は, 2(1-t)+t+a-3=0より、定数を分離して,
直線y=a と放物線 y=212-t+1 (0≦t≦1) の共有点をみるとよい。
(2) 0°
とに注意する. (sin0=t=1のときは0=90°の1つのみ)
①が異なる4個の解をもつときの定数aの値の範囲を求めよ.
① が解をもつための定数aの値の範囲を求めよ.
塔 (1) sin0=t とおくと, ① は, 2(1-t)+t+a-3=0
り
α=2t-t+1 …...①′
0°180°のとき, Osin01 より 0≦t≦1
[y=a
したがって,
とおくと,
ly=2t-t+1
②と③のグラフが, 0≦t≦1
において共有点をもつ。
③より, y=2t2-t+1
sing=t (0≦t<1) となる0は1つのに対して2個あるこ
180°のとき
よって、 右の図より,
7
= 2(1 - 1)² + ²
(20°180° のとき
sin0=k(0≦x<1) を満た
す0の値は2個存在する.
7
したがって, 条件を満た
すとき、 ③のグラフの
点(1,2)を除いた部分と
②のグラフが異なる2点で
交わる.
よって (1) の図より,
8
-<a ≤1
......③
y4
2
7
8
1 三角比の定義性質
I
O 11
42
62
01₁
1
y=a
t
****
y=k
1 x
sin²0+cos²0=1 より,
cos20=1-sin²0
定数αを分離する.
①'の解は②と③のグ
ラフの共有点の座標
t=1 のときy=2
t=0 のときy=1
sin0=1 を満たす0は
0=90°の1つのみ
YA
-1
0
1 x
0≦t<1 において、 ②と
③ が異なる2点で交わる
← ① が 0≦t<1 に
異なる2個の解をもつ
⇔ ① が異なる4個の
解母をもつ
