Question

信數學得永生

請問這題應該怎麼證明😾

4. 設 ABCD 為一梯形,AB //CD,M,N分別為 AD 邊與BC邊的中點,
試證:MN // AB,且MN
1
=(AB+ CD) • C
B
M
N
458

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

∵M是AD的中點，N是BC的中點
∴AM : MD = BN : NC = 1 : 1
又 AB // CD
表示 MN // AB // CD。（平行線會截比例線段）

∵梯形ABCD面積 =(1/2)(AB+CD)×h
(h是AB與CD的平行線之間的距離)
又梯形ABNM面積 + 梯形MNCD面積
=(1/2)(AB+MN)×(h/2) + (1/2)(MN+CD)×(h/2)
=(1/2)(h/2)(AB+CD+2MN)
=(1/2)(h/2)(AB+CD)+(h/2)(MN)
=梯形ABCD面積
= (1/2)(AB+CD)×h

∴ (h/2)MN = (1/2)(AB+CD)(h – h/2)
=(1/2)(AB+CD)(h/2)
故證得
MN = (1/2)(AB+CD)。

信數學得永生

好清楚！原來可以這樣證就好我一直在想要怎麼用向量證😫
謝謝你！

可知

不客氣
哦～對了！向量證法我好像也想出來ㄌ

（以下都是指向量，向量符號省略）
因為N是BC中點，利用向量的分點公式有
MN=(1/2)MB + (1/2)MC

又 (1/2)MB = (1/2)(MA+AB)
(1/2)MC = (1/2)(MD+DC)
所以
MN=(1/2)(MB+MC)
=(1/2)(MA+MD+AB+DC)

因為MA和MD是反向且等長的向量，得
向量MN = 1/2(向量AB+向量DC)
又向量AB // 向量DC
所以向量MN一定也是平行向量AB和DC，
即 MN // AB // CD。

如果對向量MN取長度，則有
|MN| = (1/2)|AB+DC|
因為向量AB和向量DC平行且同向
根據向量的加法性質，
|向量AB+向量DC|=|向量AB|+|向量DC|
=線段AB+線段CD

故證得
MN = (1/2)(AB+CD)。

信數學得永生

原來如此！太厲害了真的好清楚
非常謝謝你🫶🏻