Question

さこ

積分、極限に関する問題です。

（2）の【3/2<=S<=2】の部分はなぜ等号がつくんですか？

青部分の説明を読んでもよく分かりません。

また赤部分のmの具体的な値はどのように決めているんですか？
(mが大きくなれば誤差が少なくなることは理解できます)

どなたか分かりやすく解説してほしいです🙇🏻‍♂️

(1) 自然数m,
(2) Sn==1+
(n=1, 2, 3, …) とおく n→∞ のとき, S, は収束することが
3
知られている. lim SS とするとき, SS2が成り立つことを証明せよ。
4 不等式/定積分を短冊で評価
monは2m<nを満たすとする。 次の不等式が成り立つことを証明せよ.
1
<
+
1
1
n+1-m
.+...+
(m+1)2
(n-1)²
n²
n (m-1)
(3) (2)のSについて,
1
1
= 1+ 2+ 3+ + 2
22
32
n
n+l-m
m(n-1)
1+
解答■
(1) 右図で,面積について
(図1の太線部)
<(図1の網目部)
=(図2の網目部)
(図2の太線部)
が成り立つ。 網目部の面積は
示すべき不等式の中辺であり,
n+11
(図1の太線部)=
1+
n→∞
n-1
2(n+1)
(1)の示すべき式の中辺は,右図の網目部の面積であ
るから,これは太線部の面積より大きい。この大小関係を用いると(1) の左側
和を定積分で評価
1 1
4
の不等式が示される. 右側も同様である.
右図の,太線からはみ出た網目部を見よう.
誤差を小さくするには
右図では4か所あるが, 左 (mに近い方) が大きく, 右の方が小さい. この部
分の面積の合計が誤差 (中辺と左辺の差) であるから, mを大きくすると誤差
が小さくなることがわかるだろう.
ma
(図2の太線部)= = √₂²-₁²7²/2² dx = |
n 1
m-l
•<Sn<1+
+ +
9
29
x²
18
n-3
4 (n+1)
1+1+1=408060
49
9
36
・S
YA
0
-dx=
n-1
n
61
36
∙y=
m
(3) S₂ = 1 + 1 2 + 1 2 + ( 12 + + 2)
1
22
32
42
/m+1.....
が成り立つことを証明せよ.
1 7*+1
xJm
I m-1
3
→∞ のとき, 左辺→ 右辺→2だから,SS2
"
2
より, n→∞として
だから題意は示された.
(2) S₂
Sa-1+ (12/12/12/18 +..+ 1/21)と(1)でm=”とした式から、
+
+:・・+
2² 32
図 1
1 1
+
-<Sn<1+·
n
29
18
n+1
1
n+1
1
・+
1
n m-1
+
n-3
+
4 9 3n
≤S≤
61
36
+
1
m
0
-y=1/1/2/2
n+1-m
m(n+1)
と (1)でm=4とした式から,
7 ....... 第112
m-1
12
n+1-m
n(m-1)
図2
(日本医大/問題文変更)
y=
===⁄/22
m
←
この式のカッコ内に (1) の不等
式を用いる.
nn+1 x
極限をとるので, 3/22に等号
がつく
"誤差" の大きい 初の方を具体
的に計算することがポイント.
←左辺:
49+9
36
9
右辺:
49+12
36
79

積分 極限

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

るいと

等号がつく理由は問題文で極限値をSと定義しているからです。おそらく質問者さんは「不等号になんで勝手に等号をつけてんだ?」って感じに思われたのだと思います。題意としては無限級数がある値の範囲に収まることを示してほしい、端っこの値も極限値として範囲に収まるとするよって感じで読んでいいと思います。
また、mの値についてはパッと見で当てるのは数学の神様に愛されてないと厳しいかなと思います。この手の場合、mに1から順番に代入していって題意に沿った値が出そうなものを引っ張ってくると上手くいくようにできているので地道に実験していくしかないです。

さこ

コメントありがとうございます🙇🏻‍♂️

端っこの値も極限値として範囲に収まるとはどういうことですか？

るいと

伝わりにくくて申し訳ないです💦
添付した画像を確認していただければ、僕の言いたいことが伝わるかなと思います。m(_ _)m

さこ

なるほど！
nを∞にしていったときに収束する値を聞かれているから、計算してでてきた3/2や2は取り得る極限値の範囲に含まれているということですね🤔
理解できました！ありがとうございます🙇🏼‍♂️

るいと

良かったです(*^^*)
頑張ってください🔥💪