重要 例題 287 曲線の長さ (2)
円C:x+y2=9の内側を半径1の円Dが滑らずに転がる。時刻 t において D
は点 (3cost, 3sint) でCに接している。
(1) 時刻 t=0 において点 (3,0)にあったD上の点Pの時刻t における座標
(x(t),y(t)) を求めよ。ただし, 0≦t≦πとする。
2
X(2) (1) の範囲で点Pの描く曲線の長さを求めよ。 [類 早稲田大〕 基本286
指針 (1) ベクトルを利用。 PはDの円周上にあり, Dの中心Qとともに動く。 そこで
OP=OQ+QP (Oは原点)として, QP をもの式で表す。
Q,
毎日
円x2+y2=2(x>0)の周上の点Pの座標は (rcost, rsint) で表され,このとき
OP がx軸の正の方向となす角はtである。
dx
(2) p.465 基本事項 ① S. √ (d) + (a)*
dy
Ja V
dt
dt
解答
(1) A(3, 0), T(3 cost, 3sint) 3. 00107:
DとCがTで接しているとき, Dの中心Qの座標は
(2cost, 2sint) である。 また, TP=TA=3tである
から,x軸の正の方向から半直線 QP への角は
t-3t=-2t
よって 0を原点とすると
OP=OQ+QP
introst (
= 16 sin²³-t
2
dt の公式を利用。
(2cost2sint)+(cos(2t), sin(-2t))ヶ
=(2cost+cos2t, 2sint-sin2t)
(2) x(t)=-2sint-2sin2t, y' (t)=2cost-2cos2t から
{x' (t)}²+{y'(t)}²=4(sin²t+2 sintsin2t+sin²2t)=1
+4(cos²t-2 cost cos 2t+ cos²2t)
=4(2-2cos3t)=8 (1-cos3t)
よって、求める曲線の長さは
3
3
St / 16sin222tdt = S." asin 2/2 tdt
10
大
0905
YA
3
C
D
St
3 =
=4･
-4. [-cos/211³-¹6)
・COS ・土
3
2
0
$3+$1
Q
3t
0≤t≤ 2012/2πであるから sin ²01²
3
T(3cost, 3sint)
(0²2) 5 (1) ²2=(²²+²²=
< sin20+ cos20=1,
costcos 2t-sintsin2t
=cos(t+2t)
半角の公式により
-2t3
AX
T
2004:
点Pの描く曲線はハイポ
サイクロイドである(p.137
でα=3、b=1の場合)。
1-cos 3t =sin²t
2
RCK TO 100
4467
◄S³* √ {x' (t)}²³+ {y'(t)}² dt
練習
a>0とする。 長さ2maのひもが一方の端を半径aの円周上の点Aに固定して,
©287 その円に巻きつけてある。このひもを引っ張りながら円からはずしていくとき,
ひもの他方の端 P が描く曲線の長さを求めよ。
8章
41
曲線の長さ、速度と道のり
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