(1) 大阪経大
25x-3・5*-10 ≧0
基本 16616
一の形を導く。その後
三意して進める。
要注意。
変わる。
=(-1/²)*
向きが変わる。
を2にそろえる。
-(2x+2) <2-4(x-1)
大きいから
<-4(x-1)
=3
から,不等号
うない。
左の解答より
は不変。
+2>0
So
EX107
基本例題 169 指数関数の最大 最小
関数y=4-24+2+2(x≦2) の最大値と最小値を求めよ。
関数y=6(2x+2-x)-2(4+4¯*) について, 2+2x=t とおくとき,yをtを
X
用いて表せ。 また,yの最大値を求めよ。
基本 167
練習
指針 (1) おき換え を利用。 2^=t とおくと,yはtの2次式になるから
2次式は基本形α(tp)+αに直す
で解決!
なお, 変数のおき換えは,そのとりうる値の範囲に要注意。
(2) まず,X2+Y2=(X+Y)'-2XY を利用して, 4*+4 x を t で表す。
をで表すと,t の2次式になる。 なお, t = 2* + 2 - * の範囲を調べるには,20,
2x>0 に対し, 積2*2*=1 (一定) であるから, (相加平均)≧ (相乗平均) が利用できる。
69
解答
(1) 2*=t とおくとt>Q
したがって
0<t≤4
をtの式で表すと
y=4(2*)"-4-2*+2=4t°-4t+2=4(t-1/2)+1
① の範囲において, y は t=4で最大, t= で最小となる。
t=4のとき
2x=4
ゆえに
1/1/2のとき
t=
ゆえに
よって
x=2のとき最大値50, x=-1のとき最小値1
(2) 4*+4x=(2x)+(2-x)=(2*+2-x)2-2・2*・2^x=t2-2
v=6t-2(t2-2)=-2t2+6t+4
したがって
①
2*> 0, 2-*>0 であるから(相加平均)≧(相乗平均) より
2x=
(*) 2+2-x≧2√2x2 = 2 すなわち ≧2
ここで,等号は 2 = 2x , すなわち
x=-x から x=0のとき成り立つ。
①から
②の範囲において,yはt=2のと
き最大値 8をとる。
したがって
2であるから0<t≦22
1
1
2
y=-2t-
= -2 (1-2)² + 17
x=0のとき最大値 8
x=2
x=-1
.....
YA
17
2 8
(1) 次の関数の最大値と最小値を求めよ。
(7) y=(-²)*(-1≤x≤2)
32
t
p≤q2P ≤29
50
O
2
2*•2-*=2°=1
*
(12/21)
相加平均と相乗平均の関係
a> 0, b>0のとき
a+b
2
≧√ab
(等号は α=bのとき成り
立つ。)
265
t=2 となるのは, (*)で等
号が成り立つときである。
[(イ) 大阪産大]
(イ) y=4x-2x+2 (-1≦x≦3)
> 0, a≠1 とする。 関数y=ax+α-2-2(α*+α-x)+2について,
=t とおく y をtを用いて表し, yの最小値を求めよ。 p.272 EX108
5章
29
指数関数
<
kć
0
