100
基礎例題 56000
背理法を利用した証明 (3)
基礎 例題 58
[類
三重大
(1)a,bは有理数とする。a+b√3=0のとき, 3 が無理数であること
を用いて, b=0 を証明せよ。
+3√/3)x+(1-5√3)y=13 を満たす有理数x,yの値を求めよ。
(2)+(2+3√3
CHART
& GUIDE
■解答
(1) 60 と仮定する。
a+b√3=0 から
(1) 直接証明するのは難しいから,背理法を用いる。 6 = 0 であると仮定して, 矛盾
を導くことで, b= 0 を示す。
(2) (1) の結果を利用する。まず, 式を+√3=0 の形に変形する。
証明の問題
直接も対偶利用もだめなら 背理法
③を②に代入すると
③ ④ を解いて
9
有理数と無理数の
①
a,b は有理数であるから、 ①の右辺は有理数である。
ところが ① の左辺は無理数であるから, これは矛盾である。
したがって
b=0
(2)等式を変形すると (2x+y-13)+(3x-5y)√3=0... ②
x,yが有理数のとき, 2x+y-13,3x-5y も有理数であり、
√3 は無理数であるから, (1) により
_3x-5y = 0
3
2x+y-13=0:
a
√√3 = - 12/10
b
......
x=5, y=3
......
4
←b=0 のとき
b√3=-α の両辺を
で割ることができる。
s
+√3=0 の形
に。
の断りは重要。
