Question

漁夫の利撲滅委員会会長

この問題教えてください。

p,q,m(pg) を自然数とし,A,Bを次のように定義する。
A = p" + q",B = p" - q"
このとき任意のmにおいてA,Bのうち少なくとも1つ(p + q)の倍数が存在することを示せ。

Answer 1

えだまめ🫛

[1] m=1 のとき

A = p + q

なので　A はp+qの倍数

[2] m > 2 のとき

Bは次のように因数分解できる

B
= pᵐ-qᵐ
= (p+q)(pᵐ⁻¹ -pᵐ⁻²q -pᵐ⁻³q² -pᵐ⁻⁴q³ - … -qᵐ⁻¹)

よって　Bはp+qの倍数

すなわち
A,Bのうち少なくとも1つは(p+q)の倍数である

漁夫の利撲滅委員会会長

この因数分解合ってます？