Question

4月で高2

(1)のピンクの線を引いた解説の意味が分からないのですが良ければわかりやすいように教えていただきたいです。🙇🏻

105
(1) √5は無理数であることを証明せよ.
(2) √5 が無理数であることを用いて, 3+2√5は無理数であることを証明せよ。
(1) √5 有理数であると仮定すると,
√5=9
(pg は互いに素な自然数)
とおける. 両辺を2乗して分母を払うと,
5p²=q²
......1
5p2は5の倍数だからも5の倍数である.
したがって, gも5の倍数となり,
g=5r (rは自然数)
とおける.
第3章 集合と命題
① に代入して,
これから,
p²=51²
5² は5の倍数だから、は5の倍数, つまり, かも
5の倍数となる.
したがって, p, gがともに5の倍数となりかとαが
互いに素な自然数であることに矛盾する.
よって, √5は無理数である.
(2) 3+2√5 が有理数であると仮定する.
rを右理粉として
5p2=252
157
結論の否定を仮定
「無理数でない」 は「有理数で
「ある」
「n²が5の倍数ならば、nも
5の倍数」 の証明は例題104
と同じようにできる. ここで
はその証明は省略する.
√5=1 とおけないので,
p
今

Answer 1

Rain

互いに素というのは、端的に言うと、「1以外の公約数がない」ということなので、「互いに5の倍数である」というのは、「互いに素である」ということに矛盾します。

Answer 2

辞めました

2つの整数a，bの最大公約数が1のとき，aとbとは互いに素であると言います。

この問題の場合，pとqは5の倍数であるため，公約数に5をもっていて，最大公約数が1ではありません。

なので，ピンクの線のような答えになります。

この回答がお力になれれば幸いです。