Question

Hi（受験生）

t=cosxとおくと上手くいきますが、
t=sinxとおくと上手くいきませんよね？
どう考えてt=cosxとおけばいいと考えるのですか？

基礎問
154 第6章 積分法
84 tanx の積分
置換積分法を用いて, 不定積分 ∫tanzdz を求めよ.
置換積分の公式は,一般に次のようにかかれます。
精講 ∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(t)dt (g(x)=t)
でも,これでは何のことやら意味がわからない人もいるはずです.そこで
の手順を頭に入れておくとよいでしょう.
あるxの式g(x) を=t とひとまとめにおくとき, dx のところを
dt -=g'(x), すなわち,
dx
形式的に dt=g' (x)dx を用いて, dt にかえておく.
置換積分については,このあと 86 以降でもっと詳しく勉強していきます.
解答
Stanzdraineeds において,
=
cosx=t とおくと,
...
COS
ポイント
演習問題 84
dt
dx
tanzdr=-|4 =
=-sinx‥. -dt=sinxdx
Stan
-S4=-log|t|+C
=-log|cosx|+C (C:積分定数)
tanrdx==log|cosxr|+C
注
これは覚えておくか, いつでも導けるようにしておきましょう.
置換積分法を用いて,
dx
tan x
S
83
を求めよ

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

たまご

t=cosxと置換すると、微分してdt=-sinxdxってなるから
分子が-dtに置き換えられる。つまりsinxが消せるから好都合。
t=sinxと置換したところで、分母のcosxは消えないからあまり意味ない
分母を置換しないと分数の積分が簡単にならない(一部例外あり)
逆に、1/tanxならばsinx置換の方がいい
置換する時には、以下に自分が積分できる形に持って行けるかが大切。
∫ (x^2+3)/(2x+1) dx で分子を置換したりはしないでしょ？

Hi（受験生）

1/tanxでも分母にあたるのはsinxだからsin置換というですね？分母を微分する方がうまく行きやすいというのは知識として持っておくべきでしょうか？

たまご

そうですね。ただ、例外もあって
∫1/√(3+3x^2)dxはx=tanxと置く定石のように、積分にも解くための解法というのが決まっているものもあります。
分母を置換すると覚えるのではなく、どうすれば積分できる形になるかを試行錯誤していく方が難問とかに出くわしたとき対処できますよ