重要 例題 78
z を 0 でない複素数とし,x,yをz+ 1
2
=x+yi を満たす実数,αを0<a</
を満たす定数とする。z が偏角 αの複素数全体を動くとき、xy平面上の点
(x, y) の軌跡を求めよ。
*U*2301
[類 京都大] 重要 26
解答
指針偏角αの範囲が条件であるから、極形式z=r (cosatisina) (0) を利用。
■iの形に表すことにより,x,yをそれぞれr, aで表す。
12+-
2
つなぎの文字を消去 して,x,yだけの関係式を導く。なお、>0や0<a<
より, xの値の範囲に制限がつくことに注意。
ゆえに
TOADE
z=r(cosatisina) (x>0,0<a</1/2)とすると
ゆえに
0<a</であるから
よって
r+
cos a'
- 1 (cosa + sina) == ² ( cos
x
r=
2
COS
r 2
-=1から
練習
③78
1
z+ -=r(cosa+isina)+¹(cosa-isina)
2
* = = =(r+ + )cosa+i(r— — )sina
cosa, y=(r-1) sina
x=(x+1/27)
1 x
2
cos a
x²
Acos2a
双曲線
w=z+.
=r+
r
a²
cos a
よって x≧2cosa
また, >0 から
ゆえに
したがって 求める軌跡は
osax
+
cos a>0, sin a>0
y
sina
y
表す図形 (2)
r
sin a
したがって
4sin² a
ここで, >0であるから, (相加平均) (相乗平均) により
x²y²
COS α
-(tana)x<y<(tana)x
4 cos' a 4sin'α
;-). - / - (
1 x
=2
2.
等号はr=1のとき成り立つ。
_____________>
+___>0,
sina
sin a
COS α sina
sina)=1
COS α
COS α
63401
-=1のx≧2cosα の部分
< 絶対値や偏角αの範囲
に注意。
1
2
=-{cos(-a)+isin(-a)}
◄2+1/2=x
z+ =x+yi
検討 第4章で学ぶ極
限の知識を用いて, y が実数
値全体をとりうることを調べ
ることもできる。
lim m(x-¹)=∞,
に
lim (-1)=-∞であり,
sinα> 0から
lim y=-∞, limy = ∞
r+0_
→0
点 (x, y) の軌跡は次の図の
部分。
(0) y=(tana)x
を求めている
-2cosa
/ 2cosa
y=-(tana)x
0 でない複素数zが次の等式を満たしながら変化するとき, 点z+-が複素数平
面上で描く図形の概形をかけ。
(1) |2|=3-(2) |z−1|=|z-i|
139
2章
10
媒介変数表示
