Question

ゆー

この問題が(1)から分からないので詳しく教えてほしいです

ず｡
<設問別学力要素>
大間
分野 内容
13 数列
大問
小間
→解答 Ⅱ型 6 解答 参照
解説 Ⅱ型 6 解説 参照
④4 微分法
【III型 必須問題】 (配点
【配点】
(1) 28点.
2304
(2) 12点
40点 (1)
(2)
(3)
配点
8
とする. 以下において, lim-
x-00
《設問別学力要素》
分野 内容
16
16
出題のねらい
群数列の規則性を理解し、 第k群の末頃まで
の項数, 第k群に含まれる項の和を求めること
ができるか, さらにそれらを利用して, 条件を満
たす項が第何項か、 および, 条件を満たす項の和
がどうなるかを求めることができるかを確認する
問題である.
4 微分法
f(x)=x2+ax-axlogx (aは正の定数)
10gx=0であるこ
知識
技能
O
とは用いてよい.
(1) f(x) が極値をとるxの個数が2であるよう
なαの値の範囲を求めよ.
(2) a=²のとき, f(x) の極小値を求めよ。
40点)
40年)
画
#033410 (1
配点 小問 配点
40点 (1)
(2)
28
12
思考力
判断力
O
知識
技能
-S=(x))
表現力
思考力
判断力
O
O
表現力
出題のねらい
導関数を利用して関数の増減を分析することが
GTD d
できるかを確認する問題である.
◆ 解答
(1) f(x) の定義域は x>0 である.まず,
2
f(x)=x2+ax-axlogx,
f'(x)=2x+a-a(logx+1)
- 33
f"(x)=2-a
x
40 であるから,f'(x) の増減は次の通り。
a
(0)
(∞)
2
0
f" (x)
f'(x)
さらに,
x→+0
=2x-alogx,
limf'(x)=8,
x100
2x-a
limf'(x) = limx2-α・
O
x80
8 2015
=8
である.
ここで、f(x) が極値をとるxの個数が2と
なるのは,f'(x) がちょうど2回符号変化する
ときであり,それは y=f'(x) のグラフが次の
ようになるときである.
+
2
よって, 求める条件は
logx
y=f'(x)
() <0.
に着目して万物 a-alog // <0.
log>1.
a> 2e.
(2)a=²のときは α > 2e が成立するので,
の場合に該当し, y=f'(x)のグラフは次の
り。 ただし,x軸との共有点のx座標を
B(a <B) とする。
(x) g(x) + (x)u(x) \ = '[(2)x(z)).

T
A
f(x)
f(x)
したがって、 f'(x)=0 となるxの値は
x = α, B
であり,さらに次が成り立つ
0<a<²<B.
以上より, f(x) の増減は次の通り.
(0)
α
B
+ 0 = 0 +
SA V
t
したがって, 極小値は f (B) である.
ここで,
(x) = f(x)=x²+e²x-e²xlogx,
f'(x)=2x-e210gx
であり,
O a
である.
また,
2
f'(e)=2e²-e²loge²=2e²-2e²=0
→解説
(1) まず,
CONEXO (1
...
であるから、
B=e2.
/B
(logx)':
y = f'(x)
したがって, 極小値は
f(e²) = (e²)² +e²e²-e²e²loge²
=e¹te¹-2e¹
=0.golg
=
(∞)
対数関数の導関数
関数f(x), g(x) が微分可能であるとき,
関数f(x)g(x) も微分可能であり,
{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
積の微分法
-34-
これらを用いると,
大野画 (xlogx)' = (x)'logx+x(logx)'
=10gx+x.1
logx+1
である. したがって,
に対して,
x
f(x)=x2+ax-axlogx
f'(x)=2x+a-a(logx+1)
=2x-alogx
となる.次に,
区間Ⅰでつねにf'(x) > 0 ならば、f(x)
は区間 Ⅰ で増加する. 区間Ⅰでつねに
f'(x) < 0 ならば, f(x) は区間 Ⅰ で減少す
る.
導関数の符号と関数の増減
f(x) が x =α を境にして増加から減少に
変わるとき, f(a) を極大値という.また,
減少から増加に変わるとき, f(a) を極小値
という.
極値
f'(x) の値が x = α を境にして正から負に
変われば, f(a) は極大値である. また、負
から正に変われば, f(a) は極小値である。(
---- 導関数と極値
これらより, f(x) が極値をとるxの個数が2と
なる条件は,
「f'(x) がちょうど2回符号変化をすること」
であるが,f'(x) の式からその符号変化を読みとる
のは難しい.
そこで解答では、 f'(x) の導関数 f'(x) を
求めて,導関数の符号と関数の増減を用いることに
より,f'(x) の増減を調べた.
(GLOS
実際に,
f"(x)=2x a
であり、この符号は 2x-a の符号と一致するか
ら, a>0であることも考えて増減は次の通り.
(0)
(∞)
-
2x-a
x
a
2
0 +
san
***
|f" (x)
f'(x)
したがって,f'(x) の符号変化に関わるものとし
golo
X0 + x = (x).
て、
(1+xgol)

C
&&limƒ'(x), limƒ'(x), ƒ ( 2 ) ⁰
x→+0
x-00
が挙げられるだろう.snia
まず, a>0 と lim log x = - ∞ より,
x→+0
limf'(x)=lim (2x-alogx) =∞.
x→+0
次に limf'(x) については, limlog x = ∞ を用
いると,
x→+0
limf(x) = lim(2x-alogx)
X-00-X xxx 200
( ∞-∞型の不定形)
となり、直接求めることはできないが, 問題文にあ
る lim-
O
Xx-00
log x
x
Th=xbx205 (
limf'(x) = lim x2-a.
x-00
X→∞
y
これらより、f S(2/2) の符号によって、f(x) の
符号変化を場合分けできることに気付いてほしい.
≧0のときには, y=f'(x)のグラ
*UP
まず、(1/2) 2
f'
a
\2,
フは次のようになり, f'(x) は符号変化しない.
[( ) =]
[-( 2 ) >0]
+) 0
= 0 を活用すると次のように求まる.
logx
a
2
a
(+)
y=f'(x)
-x
O
(+) +
(8)
|=8.
y=f'(x)
→x
<0のときには,y=f'(x)のグ
一方で,
ラフは解答のようになり、 f'(x) はちょうど2
回符号変化する.
0<a< <B
2
a
したがって、求める条件は 1 <0である。
(2) まず,a=e² のときには a > 2e が成立するの
で,(1) で調べたグラフや増減を再利用できること
に注目したい。
205)
a=eのときに再度y=f'(x)のグラフをかいて
みると解答のようになり, それとx軸の共有
点に着目すると, f'(x) = 0 となるxの値は2つ存
在すること,またそれらをα, β(α<β) とすると
xb
であることがわかる.
さらに,導関数の符号と関数の増減より, f(x)
の増減は 解答 のようになるから, 求める極小値
あとは
はf (B) である.
[]
ここで方程式 f'(x)=0 つまり
₁02x-e²log x=0
を解くのは容易ではないが, その解の1つとして
x=e² を発見することはできる.
実際に,<Bやy=f(x)のグラフをもとに
推察を行い、試しにf'(e') = 0 を検証してみると
解答のように確認ができ, β=e とわかる.
あとは, f(B) (= f(e²)) を計算すればよい.
あなご
(1)
4 (045
5 整数
【Ⅲ型選択問題】(配点40点)
(1) m を整数とする. m²を3で割った余りを
求めよ。
Bax
(2) m を正の整数とする. 2" を3で割った余り
を求めよ。
も
8(
(3) 正の整数 x,yが
(01(火)
AS (6)
9.2*-y²= 135
を満たすとき,組 (x, y) をすべて求めよ.
【配点】
(1) 8点
(2) 8点
__(3) 24点.
《設問別学力要素》
大問 分野 内容
5 整数
RK
- 35 -
配点 小問
40点 (1)
(2)
解説
(3)
G
ⅡI型5
AS
PROP
配点
技能
8
O
18 O
24
* 200 $$=mai 9
解答 I型 ⑤5 解答 参照
出題のねらい
wakye
整数の除法や余りに関する性質を理解している
か, また、余りに着目して方程式の整数解を求め
ることができるかを確認する問題である.
思考力
判断力
9.803
解説 参照.
FRA
O
表現力
$3200 V
rikeno Finis
x 200 SV=nie sin cos
(x'nte-1) SV=xnia
20-xia + x nie S
0=(3+xnie)(1-xuia?\)
ゼオライト
タブ
MOT
CHE
20-6