Question

内職の「ｳﾞｫﾆ！」です@北大総理絶対合格！

上の？の部分は≦≧じゃダメなんですか？また下の？の部分はどうやってわかったんですか？

37 m,nを自然数とするとき 次の問いに答えよ.
log x
x
112
(1) 関数f(x)=
(2)n>m≧3のとき, m">n" が成り立つことを示せ.
(3) 2"≦nを満たすn をすべて求めよ.
(4) m"=" を満たす自然数の組(m, n) をすべて求めよ.
解答
思考のひもとき
1. f(x) は x≧αで連続かつx>αでf'(x) < 0
⇒ f(x)はx≧αで単調に減少する
(1)
①をxで微分して
は x≧e において単調に減少することを示せ.
f(x)=10gx
(金沢大)

N
(は減
'(x)= (log x)'x-log x (x)
より
/'(x) <0
よって、f(x)はx≧eにおいて単調に減少する。 口
(2) n>m=3>eb. (1)
"",
f(x)<f(m) つまり
mlogn <a logm
n*<m"
[e>1kb)
ゆえに,nm3のとき, "n" が成り立つ。 □
2"Snº
両辺の自然対数を考えて
log 2 log n
2
f'(x)
f(x)
f(e)=-¹
lim
e
logx
f(x)のグラフを考える、f'(x)=0 とするとx=e
増減表は
0
log #
21
+ 0
極
大
A
e ***
--
1-
=-∞, lim
log.x
x
log.x
log 2" Slogn.nlog 2≦2logn
つまり f(2)f(n)
log m
m
' log n" < log m"
よって, グラフは右図のようになる.
logp_log 2
P
= f(2)
0
log 2
2
ic.f解説
2
log 4_ log 2
2
となってカ=4である。 24 2/12
よって, f(2) f(n) を満たすnはn=2,3,4
m"=n"
(i) m=n のとき
第4章 微分法
0
(p2) を満たすp を考えると、図よりp>eであり
log.x
x
y=
微分法

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

F

A.

❶上の?について
　定義についての確認です。

　「x = e で微分可能である」とは、「xをeに対して両側から近づけた場合の極限が収束する」ことを意味します。

　なので、今回のケースはx ≧ eと定義域が片側から極限を考えることが題意受け取れるので、x = eでは微分可能ではありません。
　
　よって、x > eで1 - logxとf'(x)の判定が必要になります。

❷下の?について

　⑶ではグラフの概形から、自然数nの値をもとめたいので、x = eで極大値を迎えた後のlogx/xを調べれば良い。
　logx = t とすると、e^t = xなので、t/e^tの極限を考えるとグラフの概形が見える。

　x > eでt > 1であり、この定義域において、

　1/e^t < t/e^t < 2^t/e^t
⇔ 1/e^t < t/e^t < (2/e)^t …❶

　が成立する。

　❶について、
　　lim(t→∞)(1/e^t ) = 0
lim(t→∞)(2/e)^t = 0

　はさみうちの原理から、lim(t→∞)(t/e^t) = 0
　
　よって、lim(x→∞)logx/x = 0

Fin.

内職の「ｳﾞｫﾆ！」です@北大総理絶対合格！

ご丁寧な解説ありがとうございました😭

Answer 2

F

　ここでは「グラフの概形を描く」ことがゴールではないので、厳密にlogx/xが0に収束することを証明しなくても構いません。

　受験に向けてはまだ時間があるので、いまはロジックを積み重ねていくのがいいですね。

　また、実際の試験や模試では、logx/xを1階微分して極値を把握した後に、xに極端に大きな値を入力して概形を観るのはかなり有効なやり方です。

　例えば、

　x = e^10 ⇒ 10/e^10
x = e^100 ⇒ 100/e^100

　1/e = 0.367…ですから、eの冪乗がおおきくなるほど、logx/xはどんどん0に近づいていくのが見てとれます。
　
　ゴール設定を明確にしながら、いま何をするのがベストか、これを与えられた時間内にタスク処理することも数学的です。

内職の「ｳﾞｫﾆ！」です@北大総理絶対合格！

そうなんですね…ありがとうございますm(_ _)m