置き換えを利用する
与えられた式が複雑な場合、式の一部を文字で置き換えることで処理がラクになる場合がある。
ただし, 文字を置き換えるときは, 新しい文字ともとの文字について
とり得る値の範囲やとり得る値の個数の対応関係
に注意しなければならない。 このことを具体的に次の問題で考えてみよう。
(2) 関数f(x)= 8 - 64° + 5・2F を考える。 f(x) = -12を満たす実数xをすべて求める
と,x=スとなる。 また, 方程式f(x)=kが3つの実数解をもつような定数kの値の
<k<ソである。
範囲は , t
(慶大・一部省略)
指数にxが含まれているのでy=f(x)のグラフをかくのは難しい。 そこで, t = 2* と置き換え
よう。すると 8 = (2)3 = 1, 4°= (2)2 = f2 であるから, f(x)=-12 は
t3 - 6t2 + 5t = -12
(t+1)(t-3)(t-4) = 0
∴. t = -1, 3,4
となる。よって, t = 27 より対応するxの値を求めると
t=-1のとき, 対応するxの値はない
t=3のとき, 対応するxの値はx=10g23
t=4のとき, 対応するxの値はx=2
となるので、答えはx=10g23, 2である。
ここで注目したいのは,t の値は3個だがxの値は2個という点である。 t = 2² より
t≧0のとき, 対応するxの値はない
t>0のとき, 対応するxの値はx=10g2t
であるから
t> 0 のtの個数)=(xの個数)
となるわけだ。これを踏まえると,次のf(x)=hが3つの実数解をもつ条件は
y=t3-6t2+5tのグラフとy=kのグラフが
t>0の範囲で3つの共有点をもつ条件
となる。 g(t)=3 - 612 + 5t とおくと
g'^(t)=3F-121+5=3(1-6-221) (1-6+321)
√21)
であり, わり算を実行することで
となる。
g(t) = (36²-12t+5) (-)- +10
t+
3
(6-√21)=-146-√21 + 10 = -54 +14√21
9
3
3
.. g
3
とわかるので、右のグラフから
0<k<
-54 + 14√21
9
3
YA
y=t³-6t²+5t
-54+14√21
9
6-√21
3
y=k
t
