基本例題 186 曲線の漸近線
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曲線 (1)y=-
(2) y=2x+√x2-1 の漸近線の方程式を求めよ。
p.314 参考事項 ①~③
指針 前ページの参考事項 ① ~ ③ を参照。次の3パターンに大別される。
① x軸に平行な漸近線
(2) x軸に垂直な漸近線
③x軸に平行でも垂直でもない漸近線
解答
(1) y=
また
x3
x2-4
(有限確定値)なら、 直線y=ax+6が漸近線。
(x→∞をx→とした場合についても同様に調べる。)
(1) ② のタイプの漸近線は,分母=0 となるx に注目して判断。 また, 分母の次数>
分子の次数となるように式を変形すると ③ のタイプの漸近線が見えてくる。
(2) 式の形に注目しても, ①,②のタイプの漸近線はなさそう。 しかし, ③ のタイプの漸
近線が潜んでいることもあるから! で示した極限を調べる方法で, 漸近線を求める。
X→∞
x3
x2-4
-=x+
limy = ±∞,
x→2±0
lim y=lim2+
x-00 X x →∞0
x±∞
lim
x--∞ X
練習
税込 186
以上から, 漸近線の方程式は
(2) 定義域は,x-1≧0から
y =
lim(y-x)=lim
4x
x2-4
X→∞
x≦-1, 1≦x
limy = ±∞ となる定数の値はないから, x軸に垂直な漸
x→p
近線はない。
lim(2+
lim(y-3x)=lim(√x2-1-x)=lim-
X→∞
曲線 (1)
4x
x→+∞x24
limy または limy が有限確定値かどうかに注目。
x48
→ または → ∞ となるxの値に注目。
xgold-II
定義域は, x2-4≠0から x≠±2 漸近線(つまり極限)を調べ
やすくするために,
分母の次数>分子の次数
の形に変形 (分数式では,
このような式変形が有効)。
(1) x=-21VA
33.
limy = ±∞ (複号同順)
x-2±0
4
よって,直線y=3x は漸近線である。
√√x²-1
X→∞
=
x-1)=lim(2+√1-1/12)=3から
xC
-1
=0
x2-1+x
y=.
lim
-=0
4
x→±∞
1-
..2
x=±2,y=x
lim2=α (有限確定値)でlim(y-ax)=6
x8xC
x-00
2x2+3
x-1
X→∞
lim (y-x)=lim(x+√x²-1)=lim
X-8
+ x +∞01
lim (2-
よって、直線y=xは漸近線である。
以上から漸近線の方程式は y=3x, y=x
1-
1
x-xx-√√x²-1
=1(*) から
=0
-2
-2/3 0
y=x
12!
2
2√3
(*) x→−8 であるから,
x<0 として考えることに注
意する。つまり √x2=-x
(2)
YA
--3√3
x=2
Ay=3x
0
-2
(2)y=x-√x2-9 の漸近線の方程式を求めよ。
315
6章
26
関数のグラフ
