Question

豆腐

例題71、解き方を見ても分かりません。
丁寧に解説説明していただけたら幸いです

例 79 2変数関数
x,yが実数の値をとりながら変化するとき!
P = x² − 4xy+5y² + 2x-2y+7Laki
思考プロセス
魚
円千
の最小値,およびそのときのx,yの値を求めよ。
例題 77との違い
見方を変える
fxとyの関係式がないから, 1文字消去できない。
lxとyがそれぞれ自由に動くから考えにくい。
nime
KONZO5NES SOJORT
① yをいったん定数とみるxの2次関数 P=x2+(yの式)x+(yの式)
(yを固定する)
の最小値をyの式で表す。
② yを変数に戻す
( v を動かす)
Action>> 2変数関数の最大・最小は,1変数のみに着目して考えよ
Pをxについて整理すると
(= 24-09
=(yの式)の最小値を求める。
P=x2-4xy+ 5y2 + 2x - 2y +7
=x2-2(2y-1)x + 5y² - 2y + 7
={x-(2x-1)}2-(2x-1)2 +5y2-2y +7
= (x-2y+1)2 + y^+ 2y + 6
= (x-2y+1)2 +(y+1)^-1 + 6
= (x-2y+1)2 + (y + 1)2 +5 -
x, y は実数であるから
(x-2y+1)^ ≧0, (y+1) ≧0
よって (x-2y+1)^2+(y + 1)2 + 5 ≧ 5
等号が成り立つのは
のときである。
これを解くと
したがって, Pは
x-2y+1=0 かつ y +1 = 0
201
x = -3, y = -1
25.
x=-3, y = -1 のとき 最小値 5
1:0A
xについての2次式とみ
平方完成する。yは
定数とみて考える。
yを定数とみたときの最
①･･小値m は
m= = y2 + 2y + 6
dioni
この最小値を考えるため,
さらに平方完成する。
( 実数 ) ≧0
2 1030
Pの2つの()内が
0のとき, 最小値をとる。
(x−2y+1)² + (y+1)² +5
||
||
0
y+1=0 より y = -1
これを x-2y+1 = 0 に
代入してx=-3
■int…. 実数の性質
X,Y が実数の値をとりながら変化するとき,
X' ≧ 0, Y2 ≧ 0 であるから, X2+Y2≧0が常に成り立つ。
また,X2+Y2=0 となるのは,X=Y=0のときに限られる。身
(実数) ≧0

二次関数

Answer 1

yk

例題71は見当たりませんので79について解説します。
まずPの式は変数が(x、y)と２つ入っていて、それぞれが互いに無関係に値を変えるのでこのままでは求めようがありません。
そこでまず片方の変数を固定して(定数として扱って)、先に片方の変数で最小値を求めます。ここではyを固定してxについて考えています。
Pをxの関数として見るとPはxの2次式なので平方完成します(2次関数の最大最小は平方完成)。すると解答の赤い式になり、Pはx=2y-1のときに最小となることが分かります。
次にPを最小にするyについて考えます。x=2x-1の時、(x-2x+1)^2は消えるので後ろの項だけを考えます。これもyの二次式なので平方完成するとPを最小にするyが-1で、Pの最小値は5だと分かります。
あとはx=2y-1にy=-1を代入すればいいです。

先にPを最小にするxの値をyで表すことでxの項を無くし、Pの最小値をyだけで議論しようとしているのです。
長々と失礼しました。