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基本例題 105 an+1= pan+ (n の1次式)型の漸化式
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
a1=3, an+1=2an-n
CHART
解答
an+2=2an+1−(n+1),
an+1=2an-n
OLUTION
漸化式 an+1=pan+ (n の1次式) (1)
DE LA) F
① 階差数列の利用・・・・・・
② an+1-f(n+1)=p{an-f(n)}と変形・・・・・・!
②の変形については右ページのズームUP を参照。
下の解答は①の方針による解法で,別解は②の方針による解法である。
すなわち
よって, n ≧2 のとき
110
I+S.
辺々引いて An+2¬An+1=2(An+1¯an)—1—(4) RST (1)
bn=an+1- an とおくと
bn+1=26n-1
さら 80
b1=a2-aｭ=(2・3-1)-3=2 ①
bn+1-1=2(6n-1)
また
①から
更に
b₁-1=1
ゆえに, 数列{bn-1} は初項1,公比2の等比数列となり
bn-1=1・2n-1
bn=2n-1+1
n-1
......
an= a₁ +(2k-¹+1)=3+
00001
2n-1-1
2-1
Imga=2α-1 を解くと
k=1
=2n-1+n+1
CUST
が内
「
α=3であるから,この式はn=1のときにも成り立つ。
HOT
したがって
FOT
an=2n-1+n+1
基本103.10
1-S
α=1
(1+8)_₁³S=1-(I-AS)Slan+₁-αn=2²-¹² +
+(n-1)
を消去して
|inf.bn=2"-1+1 を
た後は
an+1=2an-n
から an+1
an=2n-1+n+1
did
と求めてもよい。
n=1 とすると
2°+1+1=3
ご回答ありがとうございます！
Bn＝An+1-An ですよね？
なぜこのような式になるのか分かりません...🙇♂️