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✨ 最佳解答 ✨

π/3≤x≤7π/6
可以知道一些餘弦值:
cos60°=1/2, cos180°=–1, cos210°=–√3/2
那麼,可以推出範圍
–1≤cosx≤1/2

因此最大值是cosx=1/4時,f(x)=1/16
而最小值是cosx=–1時,f(x)=–3/2
(二次函數的特性)

pig

是要怎麼知道cosx的最大最小值

可知

你可以參考y=cosx的圖形(如下)
然後把x的範圍標出來,把y畫出來,就可以知道最大值和最小值了。

可知

抱歉,是7π/6, 6跟7寫反了(不過不影響結論)

pig

把y畫出來,的y是什麼

可知

畫出y=cosx的函數圖,的意思。

pig

最大值是cosx=1/4時,f(x)=1/16
可是最大值圖上看不是1/2嗎

可知

哦~,那個是另一個圖,就是題目的
y=f(x)=sin²x+(1/2)cosx–1
=–(cosx–1/4)²+1/16

我順便按計算機圖給你看
(這個高中階段應該畫不出來)

藍線是全圖,黃線是π/3≤x≤7π/6
最大值是1/16,最小值是–3/2。

可知

不過你大概是問這個
y=–(cosx–1/4)²+1/16

你可以把cosx視為z
那麼這函數就是
y=–(z–1/4)²+1/16,也就是二次函數
因為剛剛提到,
–1≤cosx≤1/2
–1≤z≤1/2

這z的範圍剛好有通過1/4,所以會發生最大值,而最小值就是代端點,z=–1時。

pig

x=1/4就是這個函數的對稱軸也是最大值,是這個意思嗎

pig

那最小值為什麼不是代1/2

可知

針對 y = –(z–1/4)²+1/16
z=1/4是這個拋物線的對稱軸沒錯,
也是最大值發生處。

而兩端點z=–1, 1/2其實都要代,
z=–1, y=–3/2
z=1/2, y=0

因此,最小值應是–3/2,而不是0。

pig

謝謝你我完全清楚了解了

可知

如果有讓您完全理解就OK了👍

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