Question

vivi

求（2）詳解

25. 有7件不同的物品要分給甲、乙、丙、丁四個人,試求下列分法:
(1) 甲、乙、丙各得2件,丁得1件:
630
種。
C²-0²2₂
(2) 每個人至少得1件:
種。
4

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

四個人的情況，如果正面計算：

(4,1,1,1)，(3,2,1,1)，(2,2,2,1) 這三類情況。
除了分物件，還要考慮分堆問題。（同數量要除）
(4,1,1,1)：C(7,4)×3!×(4!/3!)=840
(3,2,1,1)：C(7,3)×C(4,2)×2!×(4!/2!)=5040
(2,2,2,1)：C(7,2)×C(5,2)×C(3,2)×(4!/3!)=2520

總和是8400。

反面計算法：
有1個人沒拿到：C(4,1)×3^7=8748
有2個人沒拿到：C(4,2)×2^7=768
有3個人沒拿到：C(4,3)×1^7=4
因為全部是4^7=16384

但是排容原理說明：
有1個人沒拿到的情況會包含2個人沒拿到和3個人沒拿到的情況；
有2個人沒拿到的情況會包含有3個人沒拿到的情況。

計算會呈現一減一加，需注意此反面計算方法。

於是：
16384–8748+768–4=8400。

兩種方法計算出，答案是一樣的。