よって 2-10a +16 > 0
これを解くと a<2, 8 <a
a-4>2
a> 6 ...... ②
[2] 軸について
よって
[3] f(2) =20-2a> 0
よって
a < 10
①,②, ③ の共通範囲を求めて
αは自然数であるから a=9
54 f(x)=5nx2+(mn-20)x+4m とする。
5n > 0 であるから
y=f(x)/
y=f(x) のグラフは
下に凸の放物線である。
よって, 2次方程式
f(x)=0が1より大き
い解と1より小さい解
をもつ条件は
f(1) < 0
4m
よって
m, nは異なる数であるから
よって 5n-12+(mn-20).1 +4m<0
すなわち mn+4m+5n-20<0
ゆえに
(m+5)(n+4) <40
m+5≧6, n +4≧5より, ① を満たす整数
m+5, n+4の組は
2038
(m+5, n+4)=(6, 5), (6, 6), (7, 5)
(m,n)=(1,1),(1,2),(2,1)
O
(m, n)=(1, 2), (2, 1)
Y=-2x2-3X+5
1
55 (1) x+y=X, xy=Y とおく。
(x-3)2+(y-3)²=8 を変形すると
x2+y2-6(x+y) + 10 = 0
すなわち, (x+y)²-2xy-6(x+y)+10=0か
ら
X'-2Y-6X + 10 = 0
よって
①を③に代入して
X2-
X²-4Y20
8<a<10
また,x,yは2次方程式
t2-Xt+Y=0
2次方程式②の判別式をDとすると
D=X2-4Y
2次方程式 ② が実数解をもつための条件は,
D≧0であるから
すなわち (X-2)X-10)≦0
よって
...... (1
② の2つの実数解である。
X²-4(X²-3x+5) 20
2≤X≤10
また、①を変形するとY=1/12 (X-3 + /1/2
よって, ④ において, Y は X=10で最大値 25,
X=3で最小値 1/23 をとる。
したがって 2≤x+y≤ 10,≤xy≤25
5
(2)αは2次方程式x²-kx+1=0の2つの
解であるから、 解と係数の関係により
a+ß=k, aß= ²2/2
α, βは(α-3)2+(β-3)²=8 を満たし,αキβ
であるから, (1) においてD>0と考えて
2<k<10
22=1/k²-3k+5
また, ① により
すなわち (k-1)(k-5)=0
2 <k <10 であるから
このとき
k=5
2次方程式x2-5x+1=0を解くと
a=
x=
5+√15
2
α<βであるから
5-√15
2
B=
5+√15
2
56 x2y + xy2 = 91 から xy(x+y)=91
x+y=α, xy=β ･･････ ① とおくと
α+β=20,αβ=910
よって, α, βは2次方程式 2-20s +91=0の
解である。
左辺を因数分解して
ゆえに
s = 7, 13
ゆえに a²-4820
α=7, β=13のとき
s-7)(s-13)=0
よって (a, β)= (7,13), (13,7)
また、①より, x, y は2次方程式
t2 - at + β=0の解である。
この2次方程式の判別式をDとすると, x, y は
実数であるから
D≧0
α2-4β=72-4・13=-3
これはα²-4β≧0 を満たさないから、不適。
α=13, β=7のとき
α2-4β=132-4.7=141
これは α²-4β≧0 を満たす。
ゆえに,α, β の値は α=13, β=7
x+y=13, xy=7
よって
したがって
x2+y2=(x+y)2-2xy
{-1}=132-2.7=155
失礼しました
2<k<10ではなく、√10<k<10ではないかという質問でしょうか？
であれば√10を導出していないし、する必要もなかったからです。