Question

あや

⑴で、まずなぜこれで平均値の定理を使うのか、そして、いま①において〜の不等式がよくわかりません。どなたか教えてください🙇‍♂️

7.3
(S) FRAN
f(x) は微分可能な関数とする。 すべての実数xに対して|'(x) | </1/2であ
るとき, 次の問に答えよ.
(1) 方程式f(x) - x = 0 はただ1つの実数解をもつことを証明せよ.
PRO
(2)(1) の実数解をα とする. 数列{an} が an+1=f(an) (n=1, 2, 3, …) を満
たすならば,
liman= a
n→∞
が成り立つことを証明せよ。曲
(0.5)¶

(1) g(x)=f(x) -xとおくと, g'(x)=f'(x) -1である.
①端点の符号
②単調性
いま, If'(x)|</より、
1<= 1/2*
1
- } / {<f(x) < 1/1/2
2
3
2
1
</(x-1<-
3
1/12 g(x)</12 (①)であるから, g(x)はxERで単調減少である場点の行きつく先は損様
→極限を調べる
また, g(x) は x∈ R で連続, 微分可能であるから, 平均値の定理より,
g(x) - g(0)
x-0
を調べる
-=g'(c) つまりg(x)-g(0)=(x-0)g'(c)... ① を満たすcが,
0とxの間に存在する.
つまり, 0<xのとき、0<c<x
0=xのとき,0=c=x
0>xのとき、 x<c<0である.
(1-0) g'(c)
いま, ① において,
lim g(x) = lim
X-8
0<xのとき,g(x) - g(0) <-
123xつまりg(x)<-
0=xのとき, g(x) - g(0) = 0 つまり g(x) = g(0)
0>xのとき,g(x)-g(0)
このとき,
lim g(x)=lim{-1/2x+g(0)}=-
x
つまりg(x)</12/2x+g(0)
12/2x+g(0)
-1/23才つまりg(x)
1/12x+g(0)=0であるから、
方程式 g(x)=0つまりf(x)-x=0はただ1つの実数解をもつことが示された.

微分積分 平均値の定理