■証明
一般的な証明を紹介する. (ベクトルを用いた証明もある.)
単位円上に点P, Qがある. OP と æ 軸のなす角をα OQと軸のなす角をβとする.
三角形OPQを考える. 余弦定理より,
PQ2 = OP2 + OQ2-20P OQ cos (a-β)
= 12 + 12 2･1･1・cos (a-β)
= 2 - 2 cos (a - ß) ······
**(1)
線分PQの長さを点P, 点Qの座標成分を用いて表すと,
PQ2 = (cosβ-cos a)2 + (sin β - sina)2
cos2 B
- 2cos βcosa + cos2 a
+ sin2β - 2 sin βsina + sin2 α
=
(sin'a + cos?a) + (sin'β + cos2β)
2cos βcosa-2sin βsina
=2-2 (sinasin β + cos a cos β )
=
(1), (2) より,
2-2cos (a-β) =2-2(cosacos β + sin a sin β)
よって,
cos (a +β) = cos{a -(-β)}
= cos a cos (-β) + sin a sin ( −β)
= cos a cos β- sin a sin B
cos (a-β)= cos a cos β + sin a sin β ･･････(3)
(3) を用いて他の加法定理の公式も導くことができる. 以下にそれを示す.
sin (a +ß):
･･･(2)
= cos{90- (a + β)}
=
(3)より)
••(4)
(cosa,sina)
P
= cos{(90-α) - B}
= cos (90-a) cos β + sin (90-a) sin β
sin a cos β+ cos a sin β
......(5)
2
て
(三角関数計算の基礎を参照 )
y
1
a-p
a
LB
(cosβ,sinβ)
Q
1x
(G
