Question

あや

(3)は答えは2枚目で自分の書いた解答は3枚目なんですけどこれでもやり方合ってますか？字汚くてすみません💦

演習
2･1
関数f(x)=
1+ logx
2
lim-
X→∞
XC
(x>0) について,次の問に答えよ.ただし,必要ならば
10gx0 を用いてもよい。
(1) f(x) の導関数f'(x) および,第2次導関数f(x) を求めよ.
どちら
(2) y=f(x) の増減, 極値, 凹凸を調べて, そのグラフの概形をかけ.
(3) 1<a<bのとき,0<f(a)−f(b)<b-αが成り立つことを示せ。
.0<B+(1+gol )d -d gold
A
JARO..

(3) f(x)は閉区間[a, 6] で連続, 開区間(a,b)で微分可能であるから, 平均値の定理より,
f(b) - f(a)
=f'(c) ... ① (1<a<c<b) を満たす c が存在する.
b-a
1
いま, (2) よりx≧1> において, f'(x)>0であるから, f(x) は単調増加である.
e
これより, f'(x) f'(1)=-1
また, limf'(x)=lim
-2log x-1
x3
X→∞
210gx
- lim (-10-)
= =
2
x² x
X→∞
x→8
3
=0 より,
x>1のとき, -1<f'(x)<0 つまり-1<f((c)<0であるから、①より、
f(b) f(a)
−1<
b-a
b-a>0より、各辺に b-αをかけると,
-(b-a) <f(b) f(α) < 0 であるから, 各辺に-1をかけると,
b-a>_{f(b) - f(a)} > 0 となる.
よって、 1<a<bのとき,
0<f(a) - f(b)<b-a が成り立つことが示された.
･<0 を満たす.

(3) 1<a<bのとき.
Of(a) f(b)<b-a
x≧1の範囲でf(x)は単調減少しているので、
a<bのとき f(a) f(b)すなはち
f(a) f(b) >0 or AI.
中間値の定理より、
f(x)はa<づくりにおいて連続であり、
xbで微分可能なので
f(b)-f(a) = f'(c)
fb-a
少なともいつ
満たすしが存在する。
0<a<c<bを
丸つのとき f(x)は単調増加であり、
f(1)=-1よりスラ1のときf(x)≧f(1)=1
in't
したがって f(b) fra)
2-1
b-a
( f(b)-f(a) > a-b
両辺に-1をかけてf(a) f(b)>b-a.
rpil=₁ (<f(a)-f1b) <b-a
が示された。

平均値の定理

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

沢木陽織

ほとんど問題ないと思います！
ただ、細かいようですが、真ん中下辺りの「したがって」の1行上の部分、f'(x)≧-1としてしまうと｛f(a)-f(b)}/(a-b)≧-1となってしまうので、f'(x)>-1と書いた方が良いと思います。あともっと細かいですが、微分の微の字が間違っています。

あや

細かく指導して頂きありがとうございます☺️
助かりました！！