Question

れい

26(1)ではθの範囲を設定しているのに対し27(1)では定めていないのはなぜですか？

54
重要 例題26
4
2
点zが原点を中心とする半径rの円上を動き, 点wがw=z+-を満たす。
a² の表す図形 (1)
2
(1) r=2のとき,点wはどのような図形を描くか。
(2) w=x+yi (x, y は実数) とおく。 r =1のとき, 点wが描く図形の式をx、
を用いて表せ。
w=2+-
指針▷ と が同時に出てくる式には, 極形式z=r (cos0+isin() を利用するとよい。
2
1
=1 (coso-isine) により、式が処理しやすくなることがある。
r
去して, x,yの関係式を導く。 それには sin'0+cos20=1 を利用。
ILO
4
|=
2
(2) zを極形式で表すことにより, x,yは0を用いて表されるので, つなぎの文字0を消
JELUTO
解答
z=r(cos0+isine) (x>0,0≦0 <2π) とすると
4
w=zt-
[]
=r(cos 0+isin0)+(cos 0-isin 0)
円
重要 25
日本基
4
=(x+1) coso+ (r-121) sine
(1) r=2のとき.①から w=4cos専平さ
0≦0<2πでは-1≦cos0≦1であるから -4≤w≤4
したがって,点は2点-4, 4を結ぶ線分を描く。
n
z=0
1
<= = 2²²1²222²
2
={cos(-6)+isin(-0)}
虚部がなくなるのでこの
とき は実数である。
参考 (2) 点wが描く図形

重要 例題 27 不等式を満たす点の存在範囲(1)
00000
複素数zが|z|≦1 を満たすとする。 w=z+2i で表される複素数wについて
(1) 点wの存在範囲を複素数平面上に図示せよ。
(2) w² の絶対値をr, 偏角を0とするときと0の値の範囲をそれぞれ求めよ。
ただし, 0≦0<2πとする。
基本 21,23
指針▷ (1) w=z+2iからz=w-2iとして,これを|z|≦1に代入。下の検討も参照。
(cosatisina) [R>0] として, ド・モアブルの定理を利用。
図
解答
(1) w=z+2i から z=w-2i
これを|z|≦1に代入して |w-2≦1
ゆえに,点wの全体は,点 2i を中心と
する半径1の円の周および内部である。
よって, 点wの存在範囲は右図の斜
線部分。 ただし, 境界線を含む。
(2) w=R(cosa+isina) [R>0] とする
と
w²=R2 (cosa+isina)²=R^(cos2a+isin2a)
よって, 条件から r=R2, 0=2a
S
|i|≡|w|≧|3i| ゆえに 1²≤R²≤3²
(1) の図から
したがって
また、右図において
よって
ゆえに
→rはRで, 0 はαで表すことができるから, (1) で図示した図形をもとにして,まず
R, α のとりうる値の範囲を調べる。
ゆえに
∠AOB=
π
3
1≤r≤9
2
3
Mam
π
6
2
3
π
4
T≤ON π
3
OA=2,AB=1,∠ABO=
同様にして
YA
-1 0
よって
)(I-s)
π
2
-л≤2α≤
KOCIT
∠AOC=
2
3
37
これは 0≦0<2πを満たす。
6
x
saat
P(w), A (2) とすると
|w-2i|≦1 を満たす点 w
は,点Aからの距離が1
以下の点, という意味をも
つ。
(1) の図から, w の絶対値|w|
は, w=3iのとき最大, w=i
のとき最小となる。
<|w|=R
CA
YA
IT
130
10
B
36
18
55
1章
4複素数と図形

複素数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

sin theta

27番の方で極形式を定めることはできるかもしれませんが，rとθが同時に動くのでかなり面倒です。zの条件からzは0を中心とする半径1の円の内部を動くと図形的にわかっている上，wへの変換がzに2iを加えたもの(zが虚軸方向に2平行移動)であるためかなりシンプルです。この場合は図形的に考える方がシンプルですね。

れい

すみません。打ち間違えてました。27(2)です。
よろしくお願いします。

sin theta

特に大きな差があるわけではないと思います。(2)でwの偏角の範囲を定めても結果は同じになるからです。強いて言うならw^2の偏角に既に範囲を定めているからそれに当てはまるかどうかを確認するだけでよい，と考えたのではと思います。

れい

お返事遅くなりすみません。助かりました。ありがとうございました。