Question

Leo

嗨，各位學霸。
我被這題困惑許久
我是這麼理解題目的
我把a^2+b^2+2a-4b+1=0
配方法成(a+1)^2+(b-2)^2=4
也就是圓心為(-1,2)且半徑為2的圓
然後把(a-3)^2+(b+1)^2 = min 視為
以圓心(3,-1)且半徑r^2等於某最小值的圓
問題是為什麼半徑最小值會是3？也就是r^2=9
我看得懂解答的算式我只是不知道為什麼要這樣做
為什麼(a-3)^2+(b+1)^2 = min 不能等於任意數，只要大於0？把我的問題畫成了圖三

ask
類題 3 若兩實數a,b滿足+²+2a-4b+1=0,則(a-3)+(b+1))之最小值為
女
。

5 互動式教學講義數學(1) 解答篇
直碼
08
類題3
令 P(a,b),Q(3,-1),
則PQ=(a-3)2+(b+1)
依題意可知,P(a,b)在圓C:x+㎡+2x-4y+1=0
>(x+1)+(y-2)=4上
+810
圓C的圓心O(-1,2),半徑r=2
又00=√4+3²=5>r
∴點Q在圓C外
由右圖知 PO 的最小值為
OQ-r=5-2
=3
此時PQ'=(a-3)+(b+1)〕之最小值為3=9
故(a-3)+(b+1)之最小值為9
範例
O(-1,2) P Q(3,-1)

+
T
(-1.212 3 (3.-1)
解答
(-1.21
2
why not?
(3,-1)
99/

圓 二元二次方程式 最小值 點到圓的距離

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

如同解答說的
應該要把(a–3)²+(b+1)²的幾何意義視為
「圓上一點(a, b)到點(3,–1)的距離，再平方」

如果你把(a–3)²+(b+1)²=m
視為一個圓(稱為C好了)的話（當然m≥0)

因為已知點(a, b)在圓O上，
那意思就是點(a, b)也要在C上才行

不然如果兩個圓沒有相交，
那就不存在點(a, b)同時讓兩式成立！
所以兩個圓要相切，或是相交
也就是9≤m≤49這個範圍
如下圖所演示