( 372 )
[□]
解答
(1)
AU
4
配点
(15点(2) 8点 (3) 12点
C
G■
2次関数 (25点)
(2)
ON
2次関数f(x)=ax²+2ax+3a+1 がある。 ただし,αは0でない定数とする。
(1)a=2のとき、y=f(x)のグラフの頂点の座標を求めよ。
(2) y=f(x)のグラフをx軸方向に2,y軸方向にだけ平行移動したグラフを表す関数を
y=g(x) とする。 y=g(x)のグラフの頂点の座標をGを用いて表せ。 また, y=g(x) の
グラフが点 (3,1)を通るときの値を求めよ。
解答の
ポイント
(3) 正の定数とする。 (2)のとき、ISxSt+3 における g(x) の最大値をM. 最小値を
とする。1を用いて表せ。 また、2M-m=6となるようなの値を求めよ。
a=2のとき
∫(x)=2x²+4x+7=2(x+1)+5
よって、y=f(x)のグラフの頂点の座標は
(-1, 5)
∫(x) を平方完成することができた。
⑩平方完成した式から頂点の座標を読み取ることができた。
∫(x)=ax²+2ax+3a+1=a(x+1)+2a+1
であるからy=f(x)のグラフの頂点の座標は
(-1, 2a+1)
y=g(x)のグラフの頂点は、y=f(x)のグラフの頂点をx軸方向に2. y
軸方向に3だけ移動したものであるから、その座標は
(1, 2a+4)
g(x)= a(x-1)¹+2a+4
さらに、 y=g(x)のグラフが点 (31) を通るとき
(3) 1
よって
圈 (-1.5)
4a+2x+4=1
a-1/23 これは を満たす。
解答の
ポイント
2x²+4x+7=2(x+2x)+7
=2(x+2x+1-1)+7
=2{(x+1)^-1)+7
=2(x+1)+5
ax²+2ax+3a+1
=a(x+2x)+3a+1
=a(x+2x+1-1)+30+1
a{(x+1)^-1)+3g+1
=a(x+1)+2a+1
y=(x)のグラフの頂点は
座標: -1+2=1
y座標: 24+1+3=2a+4
<y=g(x) に x 3. y=1を
入する。
(順に) (1.2g+4), am-12/2
◎ y=f(x)のグラフの頂点の座標をaを用いて表すことができた。
○ 平行移動の考えを利用して, y=g(x)のグラフの頂点の座標を求められた。
© 求めた頂点の座標から(x) を表すことができた。
A
[□]
CO
O
C
[□]
C■
(3)
(2) のとき
(x)=2(x-1)2+3=-212x2+x+2/2
したがって, y=g(x)のグラフは右の図のよ
うになる。
t>0 のとき、x+3 における g(x) の
最小値は
m=g(t+3)=-
である。 また、最大値は
(i) 0<t≦1のとき M=g(1)=3
it >1のとき
となる。
(i) 01のとき
2.Mm6 より
=-12-21+1
t>1のとき
2.M-m6より
2-3-(-12-21+1)=6
12/2+21-1-0
t²+4-2=0
t=-2±√6
場合分けの条件 01 より
t=-2+√6
解答の
ポイント
M=9(1)=²+1+
2 ( - ² + 1 + ) ( − 1 −2+1)=6
-+-20
-&+40
t=4+2√3
場合分けの条件1>1より
1-4+2√3
(1), ()より、求める」の値は
=-2+√6. 4+2
Ot
y=g(x)\
最大
+3:
y-g(x)
11+3.
1226-21+1.276.4+2/3
x
αは負であるから, y=g(x) の
グラフは上に凸の放物線である。
定義III+3 の中央は
1+1/2/2 である。1>0のとき。
2/23 >1 であるから、y=g(x)の
グラフの軸x=1は常に定義域の
中央x+2/23 より左側にある。
よって, g(x) は定義域の右端で最
小値をとる。
g(x) が最大となるのは、 0<IS]
のとき､グラフの頂点においてであ
り、t>1のとき、定義域の左端に
おいてである。
場合分けができた。
の大小関係によって、
場合分けの範囲に入るかどうかを
確認する｡
であるから
より 26 <3
2+2 <-2+√6 2+3
0-2+√1
また、 -2-√6 <0
場合分けの範囲に入るかどうかを
確認する。
4/9<√12<√16 2D, 3<2√3<4
であるから.
44 < 4-2√ < 4-3
0<4-2/3 <I
また、 4+2/51
○最小値を求められた。
0と1
ⓒ それぞれの場合において, 条件 2M-m6の方程式として表すことができた。
それぞれの場合において､その方程式を
解の味ができた。
to
E
【選
4
C
ON
A
U
A
[□
-1≦x≦2の範囲で, y=f(x)のグラフは右
の図のようになるから､∫(x) は
x=-1.2で最大値3
x-21/12 で最小値-4
(3)
をそれぞれとる。
完答への
道のり
y=f(x)のグラフの軸は、直線 x
A f(x) を平方完成することができた。
グラフの軸と定義域の位置関係を考えて、最大値 最小値と、そのときのxの値をそれぞれ求め
ることができた。
M=S(-1)=e+t+1
m=f(21)=4621+1
i < 2012/12 すなわち0<</1/12 のとき
f(x) はx=ー! で最大.x=2で最小と
なるから
M+mより
(P+1+1+(4-21+1) - 2
5²-1+2=21
10r¹-2r-17-0
1=√171
10
1+√171 1+13
10
ここで､ 169171 より 13 171 であるから
1-√171 <0
10
x-1/2 である。
圏 = -1.2のとき、最大値3
x 12/23 のとき、最小値 4
また
よって、いずれの値もOKI 1/1 満たさないから不適
M-S(-1)=1+1+1
m-s() -
M+m= より
1/11/12/1/2 わち / IS1のとき
かつ
f(x)はxt で最大 x 1/1/2 で最小と
なるから
(P+1+1) + 7 = ²2
-10 til 2F
2:2
30-
y=/()
y=f(x)
y=f(x)
7
最大値をとるxの値が2個ある
ことに注意する。
軸が定義域の右外にある場合。
2次方程式の解の公式
2次方程式 ax²+bx+c=0 の解
x =
-b±b2-4ac
2a
得られたの値が、 場合分けの条
件を満たすか吟味する。
軸が定義域に含まれ、定義域の中
央x=
より右側, または中央に
ある場合。
F
G
H
ON
4²+46-35-0
(21+7) (21-5)-0
これらは 1/12 SI を満たさないから不適。
1/12/
12/11/1/2
f(x) は x = 24 で最大, 12/23 で最小と
x=
なるから
M=f(20)=4r-21+1
- (1) -
m
M+m=
完答への
道のり
より
(4²²-27+1) + 3 = 2/1
16t²-8-35=0
(4t+5) (4-7)=0
1=-5 7
4'4
1 を満たすものはt=
(i)~(m)より, 求める」の値は
のとき
014
2:2
5 場合の数 ( 25点)
y=f(x)
20
得られた」 の値が、 場合分けの
件を満たすか吟味する。
軸が定義域に含まれ、 定義域の中
12/28 より左側にある場合。
A グラフの軸と定義域の位置関係により、3つの場合に分けて考えることができた。
得られたの値が、 場合分けの条
件を満たすか吟味する。
それぞれの場合において、M+m=2 からについての2次方程式を立てることができた。
<- 31-
ⓒ0 それぞれの場合においての2次方程式を解き、解の吟味をすることができた。
1. 2,3,4,5の5種類の数字を使って4桁の整数をつくる。 ただし、同じ数字を繰り
返し使ってもよいものとする。
(1) 4桁の整数は全部で何個できるか。
1122122のように、1と2のちょうど2種類の数字を使ってできる4桁の整数は全
であるか､また､ちょうど2種類の数字を使ってできる4桁の整数は全部で何個あ
(3) ちょうど3種類の数字を使ってできる4桁の整数は全部であるか。 また、このうち、
5000以上の整数は全部で何個あるか。
これです！