Question

ゆー

(2)と(3)について質問です
グラフを書く時には2回微分して凹凸も調べて書くのかと思っていたのですが、解説ではそれをやっていませんでした。それでもグラフは書けるのですか？？

(2)
Z4
よって
(1)より
(x, y) = (2, 30), (5, 25), (11, 15), (17, 5)
配点 (1) 8点 (2) 14点 (3) 18点
解答
(1)
f(x)=ae-x
f'(x)=(-x)' (ae) =-2axe-x
4
曲線 y=f(x) 上の点 (1, f (1)) における接線の傾きが
e
さらに
f'(1) ==
=-4
e
-2ae1=
a=2
微分法 (40点)
aは定数とし, eを自然対数の底とする。 関数 f(x) = ae があり, 曲線 y=f(x) 上の
点 (1, f(1)) における接線の傾きがである。
(1) αの値を求めよ。
(2)を定数とする。 方程式 f(x)=kが異なる2つの実数解をもつとき,のとり得る値
の範囲を求めよ。
(3)を定数とする。 方程式 f(x)=p (2x-3) が異なる実数解を2つだけもつとき,の値
を求めよ。
x
f'(x)
f(x)
圈 (x,y)=(2,30) (5,25), (11,15), (17,5)
4
e
+
f(x)=2e ,f'(x)=4xe-
方程式f(x)=kが異なる2つの実数解をもつ条件は, y=f(x)のグラフ
と直線y=k が異なる2つの共有点をもつことである。
f'(x) = 0 とすると, -4xe-x = 0 より, x=0
よって, f(x) の増減表をかくと
0
0
2
解法の糸口
1-2
方程式f(x)=k が異なる2つの実数解をもつ条件は, y=f(x)のグラフと直線y=kが異なる2つの共有点
をもつことである。
であるから
******
答 α = 2
- 73-
<u=-x2 とおくと, y = ae" であり
dy du
du dx
y' =
dy
dx
= ae".(-2x)
=-2axex
22
f(x)=f(x) が成り立つので,
y=f(x)のグラフはy軸に関して対
称であることを用いて, x≧0 にお
ける増減や limf(x) だけを調べて
もよい｡
x →∞0
TU

107 190
(3)
(24)
lim f(x)= lim 2e = 0
1118
lim∫(x)=lim2-0
r-00
以上より, y=f(x)のグラフは次の図のようになる。
y
したがって、求めるkの値の範囲は
0 <k<2
解法の糸口
= p
方程式 f(x) = p (2x-3) は, xキ =1/12 のとき,
2x3 = p と変形できる。 求める条件は,y=
グラフと直線y=pが異なる2つの共有点をもつことである。
2e-*¹
0
f(x)=p(2x-3) より
2ex=p(2x-3)
x=2のとき, ①の左辺は 2e-10①の右辺は (228-3)=0
であるから, x= =122 は ①を満たさない。したがって,xキ 23 のときを考え
る。
(−4.xe-*) (2x-3) 2e-x 2
(2x-3)2
-4e-**{x(2x-3)+1}
(2x-3)2
このとき, ①は
2e-x²
2x-3
と変形できるから, g(x)=
2e-x²
xキ 232) とおくと、方程式
2x-3
f(x) = p(2x-3)が異なる実数解を2つだけもつ条件は,y=g(x)(x = 2428)
のグラフと直線y=pが異なる2つの共有点をもつことである。
g'(x) =
(2e-x) (2x-3)-2ex(2x-3)、
(2x-3) 2
-4e-x(2x2-3x+1)
(2x-3) 2
-4e-(2x-1)(x-1)
(2x-3)2
y=f(x)
g'(x)=0 とすると, x= 1
2'
y=k
1
答 0<<2
2e-x
2x-3
--3/2)
xキ
の
商の導関数
{f(x)} = f'(x) g(x) —ƒ(x) g'(x)
{g(x)}2

よって, g(x) の増減表をかくと
さらに
g'(x)
g(x)
x
lim g(x)= lim
848
0
y=g(x)
1
Ve
2e-²
x+∞2x-3
limg(x)=limo =
0
2e-x¹
x-2x-3
2e-x
lim g(x) = lim 2x-3
1
Ve'
2e-x
2x-3
+
= 0
したがって 求めるかの値は
2
p=
7
=18
lim g(x)= lim
2/23+0
以上より, y=g(x)のグラフは次の図のようになる。
=8
1
Z5 複素数平面 (40点)
0
2
e
1
3
2
......
y=p
2003 *** USB CO
- 75 -
p=-
49 (0) = -1/3
1
2
Vē' e
2S-11-18-s.|
複素数αは虚部が正であり, |a| = 2 を満たしている。 また, 共役な複素数について
α+α = 2 が成り立つ。 ただし, iは虚数単位とする。
(1) α を x+yi(x, y は実数)の形に表せ。
(2) 複素数z は, 方程式 |z-8|=2|z-2| を満たす。 複素数平面上で点2の全体が表す図形
を図示せよ。
(3) (2)で図示した図形上の点をPとする。 また, α を表す点を A, argβ = arga を満たす
複素数βを表す点をQ とする。 三角形 APQ が正三角形であるとき, βを求めよ。
11
い!!!
Ⅱ
18

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

みなみ

凹凸も調べよと言われていなければ2階微分いりません。

増減表から上がって下がることがわかります。
下がるのは、x軸を交差して下がるのか、
x軸に限りなく近づくように下がるのか、
それは解答の通り極限を調べることで求めています。

ゆー

グラフの概形が分かればいいから凹凸まで調べる必要はないということですか？

みなみ

そうですね。

ゆー

わかりました！ありがとうございます！