○流の土面平
ベクトルと軌跡
重要 例題 44 ベクトルと軌跡
平面上の△ABC は BACA = 0 を満たしている。この平面上の部族
件 AP･BP +BP･CP+CP･AP=0 を満たすとき, Pはどのような図形上の
[岡山理科大]
点であるか。
CHART O SOI
OLUTION
△ABC の問題 Aを始点とする位置ベクトルで表す ・・・・・・D
条件式の中の各ベクトルを, A を始点として, ベクトルの差に分割して整理する
ベクトル方程式に帰着できないかと考える。
解答
BALCA
BA･CA = 0 から, △ABCは∠A=90°の直角三角形である。
AB=1, AC=c, AP= とすると、条件の等式から
Aを始点とする位置
クトルで表す。
五・一五一+CD=0
BA•CA = 0 から
6•c=0
AB・AC=0
よって
1BP²-b.p+1b³²-cp-b·b+|b²-c • p=0
整理すると
3|p²-2(b + c) p=0
2
021= 150-3(6+2)-3-6 [3(2+2)
ゆえに
£₂²_\B³²_²3² (b+c)•ñ+(§ \ b + c 1)² = ( ² 1 6 + + c 1) ²³
'AO=A01
よって
16-
◆2次式の平方完成と同
様に変形する。
ゆえに
| 6 -- - (6 + c)² = ³ + c³
①
3
辺 BC の中点を M, AM=㎡ とすると
b+c
2
◆Mも定点である。
+c=2mを①に代入すると
= inf. Gは△ABCの重
2017-123
よって
よって
10 である。
m
AG=1/23m とすると,Gは線分 AM を 2:1に内分する点で
-m
410
10+20+20 A
70
ある｡
SETS P
したがって, 点Pは△ABC の重心Gを中心とし, 半径が
AG の円周上の点である。
G
S
B
402
m=
\2=80
a
00000
M
