この問題の解き方が分かりません。教えて下さい。回答お願いします🙇

Mathematics

高中

已解決

約3年以前

jpgamw

この問題の解き方が分かりません。
教えて下さい。回答お願いします🙇

[ax<3a(a-3) [(a−3)x≥a(a-3) たす整数がちょうど3個となるような整数αの TRY □113.xについての連立不等式がある。この連立不等式を満値を求めよ。 ( 鳴門教育大 )

113. (i)a<0のとき (i)a=0のとき (0-x<0 a0a-30 より, このとき, 3(a-3) <a であり,aは整数であるから, 3(α-3) も整数となり, 3(a-3) <x≦aを満たす整数 xがちょうど3個となるとき､ 3(a-3)=a-3 2(a-3)=0, a=3 これはα<0 を満たさず、不適 -3x20 この連立不等式を満たすxはない。 Jx<3(a-3) a> 0, a-3<0より、 Ix≤a このとき, 3(a-3) <a でありx<3(a-3) を満たすすべてのxが解となるから,これを満たす整数xは無数にある。 3(a-3) (iv) α=3のとき 13x<0 10.x20 x<0 を満たすすべてのxが解となるから, これを満たす整数xは無数にある。 [x<3(a-3) a>0, a-3>0 より [xza この連立不等式が解をもつとき, a<3(a-3) これを解くと,49 2 9 これと条件 α>3との共通範囲は,α> 2 αは整数であるから, 3(a-3) も整数となり, a≦x<3(a-3) を満たす整数x a a+I a+2a+3 がちょうど3個となるとき, 3(a-3)=a+3 2=12, a=6 9 を満たす。 ( 0<a<3 のとき (v) α>3のときこれは α> (i)~(v)より, [x>3(a-3) xma 3(a-3) a=6 a-3 a-2 a-1 a 3(a-3) x

解答

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

約3年以前

最初から説明すると
ax＜3a(a-3)…①
これ、xの係数がaになってます。こういう時は、a＞0、a＝0、a＜0に場合分けをする必要があります。
(a-3)x≧a(a-3)…②
これも同様に、xの係数がa-3になってますので、a-3＞0、a-3＝0、a-3＜0に場合分けをします。

2つともバラバラに場合分けをするとたくさん場合分けをしないといけなくなりますので、効率よくやっていきます。
①のa＜0と②のa-3＜0の共通部分は、a＜0
①のa＞0と②のa-3＜0の共通部分は、0＜a＜3
①のa＞0と②のa-3＞0の共通部分は、a＞3
の3つに絞れます。
ちなみに＝のところはそれぞれ別々で考えます。

ここまでの場合分けは分かりますでしょうか。

jpgamw 約3年以前

回答ありがとうございます。
すみません！
ここまでの流れは分かったのですが、共通部分はどうやって出してるんですか？
お願いします🙇

きらうる約3年以前

数直線を書きましょう

jpgamw 約3年以前

ありがとうございます。
ここまで分かりました！！

きらうる約3年以前

それぞれの場合において、不等式がどのようになるかを考えていきましょう。
i)a＜0のとき
①、②の式とも左辺のxの係数がマイナスになっています(a＜0、a-3＜0)ので、それぞれa、a-3でわるときに、不等号の向きを変えます。
aで割って
①…x＞3a-9
②…x≦a
3a-9とaの大小を見ておきます。
a-(3a-9)＝-2a+9
a＜0から、-2a+9は必ず正になるので、3a-9よりaの方が大きいことがわかる。
よって、①②の共通範囲は、3a-9＜x≦a…③
と表すことができます。

この範囲内に、整数が3個あるような整数aを求めるのですが、
例えばa＝-1であるならば、③の不等式は
-12＜x≦-1
a＝-2であるならば、③の不等式は
-15＜x≦-2
のように、範囲内にある整数は3個であるaというのを求めることができません。
つまり、最初に示した『a＜0のとき』という範囲は不適ということになります。

きらうる約3年以前

解答には、
3(a-3)＝a-3
という式が書かれていますが、この意味も補足しておきます。

aは整数なので、a以下の整数は、a-1、a-2、a-3、a-4…と表すことができます。
3(a-3)も、aが整数であることから、整数になります。
また3(a-3)の不等号には＝がついていません。したがって、この値は範囲には含まれないことになります。
つまり、aから4つ下の整数であるa-3と3(a-3)が一致するとき、斜線部分の範囲には整数が3つ存在することになります。