Question

also

空集合はなぜ入るのですか？
その意味がわかりません
教えていただきたいです

2次の集合の部分集合をすべてあげよ。
(1) {4, 5}
Ea.53
5
(2) {1, 2, 3)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

みなみ

そういう定義だからです。
どんな集合に対しても、空集合は必ずその部分集合としてカウントされる。
だから、ある集合の部分集合を全て挙げるとしたら、必ず空集合も挙げることになります。

Answer 2

なむる

集合A,Bについて、
「AがBの部分集合である」
というのは、
「『x∈Aならばx∈B』が成り立つこと」
と定義されます。
これは定義なので覚えましょう。

では、次に、空集合øは、
「要素を一つも持たない集合」
と定義されます。
これも定義なので覚えましょう。

ここで本題。
面倒なのでA={4,5}としますね。
空集合øがAの部分集合であるとは、定義より、
「x∈øならばx∈A」・・・(i)
が成り立つことを指します。
x∈øを満たすxがそもそも存在しないので、
この命題(i)は真になります。

(補足:仮に(i)が偽と仮定すると、x∈øなのにx∉Aであるxが存在することになりますが、øは要素を持たないのでおかしいですよね、ですから(i)は真です。)

以上より、øはAの部分集合となります。

なむる

この議論は{4,5}に限らずどんな集合でも出来ますので、【結果として】空集合は任意の集合の部分集合と言えます。