定数をおよび関数 f(x) を求めよ。
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f(x)-f(x) = 2kx° +k°x+1…① とおく。
S(x) を定数関数とすると
このとき,左辺は定数であり, 右辺は3次式となるから, ① を満たさ
f(x) = 0
ない。
よって,S(x) は定数関数ではない。f(x) をn次式 (nは自然数)とす
ずしは)は(n+1)
であるから、左辺は
(n+1)次式となる。
一方,①の右辺は3次式であるから
n+1=3 すなわち n=2
ゆえに,f(x) は2次式である。
F(x) = ax°+ bx+c (aキ0) とおくと
f'(x) =D 2ax+b
のに代入して整理すると
2ax+ (b-a)x°_ bx-c=2kx°+x+1
これがxについての恒等式であるから, 係数を比較して
2a = 2k …2, 6-a=" …③, -b=0 …④, -c=1 …5)
3, より
これを2 に代入して整理すると
a= -
2k(k+1) = 0
-2k° = 2k より
2k°+2k = 0
kキ0より
k=-1
2, 0, 6より
a=-1, b=0, c=-1
k=-1, f(x) = Ix-1
2k(k+1) = 0
したがって
問題204(x+1)f"(x) = 2f(x) +4, f(0) =0 を満たす整式で表された関数f (x) を求めよ。
(x+1)f(x) = 2f(x) +4 …① とおく。
f(x)を定数関数とすると,f(0) =0 より f(x) = 0
このとき f'(x) = 0 となり, これは①を満たさない。
f(x)の次数をn(nは自然数) とし, x の係数をa (aキ0) とす
このとき
f(x) が定数関数の
てのxについ
