whether で「〜かどうか」という意味になります。
この場合、
My mother asked me whether we should go out for lunch or eat at home.
(私の母は、外食にするか家で食べるか私にたずねた)
whether の後に続く文に注目です。
go out for lunch (外食をする)
eat at home(家で食べる)
この2つのどちらにするかを
ask(たずねている)わけです。
whether A or B
という、間接疑問文の構文です。文法書にものっているのでみてみてください。
※ちなみに、
関係代名詞のwhichは、名詞を修飾します。
Which do you like coffee or tea?
のような疑問詞とはまた別ものなので、
注意が必要です。
回答していただき、ありがとうございます!
勉強不足で、2番の意味が分からないです。
知識不足で申し訳ありません。