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物理重要問題集
62
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42
7単振動·単振り子
58.地球のトンネル〉
球を干住R imj の球体とみなし、その中心を通る直線
状のトンネルを考える。図は中心0を含む地球の断面を示し
ており, A とBはそれぞれ地表面上の出入り口とする。0を
原点とし,BからAへ向かう向きを×軸の正方向とする。ト
ンネルの占める体積は地球全体の体積に比べて無視できるは
ど十分小さく,トンネルの内部において, 質量 m [kg] の小
物体はトンネルの壁面と接触せずに運動するものとする。また, 地球の密度は一様であり、
地球の大気および地球の自転, 公転, 他の天体の及ぼす影響は考えないものとする。地表面
における重力加速度の大きさをg [m/s°] として, 次の問いに答えよ。
(1) 地球の質量を M [kg), 万有引力定数をG[N·m?/kg°] としたとき, gをM, G, R を用い
て表せ。
(2) 小物体がx軸上の位置x [m] にあるとき, 小物体にはたらく力F[N] を, x<-R,
-RS×SR, R<xの3つの場合に分けて, g, m, R, xを用いて表せ。 ただし, 小物体
にはたらく力は, 0を中心とする半径|x|の球内部の質量がすべてOに集まったと考え,
その全質量が小物体に及ぼす万有引力に等しいものとする。
(3) (2)で求めた力Fをxの関数として, グラフにかけ。
Aで小物体を静かにはなしたところ, 小物体はOを中心に, 振幅尺の単振動を始めた。
(4) 小物体が0を通過するときの速さ[m/s] を, g, m, Rのうち必要なものを用いて表せ。
(5) 小物体がAを出発してから, 初めてBに到達するまでに要する時間を [s] を, g, m, Rの
うち必要なものを用いて表せ。また, 重力加速度の大きさを 1.0×10m/s°, 小物体の質量
を1.0kg, 地球の半径を 6.4×10°m としたとき, 時間tを有効数字2桁で求めよ。
次に,小物体を0からある初速でx軸の正の向きに打ち出したところ, 小物体はOにもど
らず無限の遠方まで飛んでいった。
(6) 小物体がOにもどらず無限の遠方まで飛んでいくために必要な最小の初速 vo [m/s] を,
9, m, Rのうち必要なものを用いて表せ。
R
59
で
が
は
箱
(18 愛知教育大)
