Question

ぱそこん

万有引力による位置エネルギーの問題です。
(2)はどのように考えれば良いですか？解き方をお願いします

基本例題 40 万有引力による位置エネルギー
203,204 解説動画
地球の表面から速さで鉛直上方に物体を発射したとき, 到達する最大の
高さんを考える。 地球の半径をR, 地球上での重力加速度の大きさをgとする。
(1) 万有引力による位置エネルギーを考え, vo をg, R, hで表せ。
tva
Vo
(2)hRに比べて十分に小さいとき, v はどのように表されるか。
iR
(3) vo を大きくすると, 物体は地球上にもどらなくなる。 このとき,
ひ はいくら以上にすればよいか。 g, R で表せ。
脂趾 万有引力定数G, 地球の質量Mが問題文に与えられていないので, 「GM=gR-」 を用いて

Answer 1

GDO

(1)の答えを使って、h/R→0にしてみてください。
M：地球の質量、G：万有引力定数
地表面での力学的エネルギー=地表面+hでの力学的エネルギー
-GMm/R+1/2mv₀²=-GMm/(R+h)+0
　（GMm/R²=mgなのでGM/R=Rg）
1/2mv₀²=GMm/R-GMm/(R+h)
v₀²=2GM(1/R-1/(R+h)
　=2GMh/{R(R+h)}
　=2ghR/(R+h)・・・(1)の答え？
　=2gh/(1+h/R)
hがRに比べて十分小さいと、h/R→0
v₀²=2gh/(1+h/R)→2gh
v₀=√(2gh)