基本 例題25 垂心の位置ベクトル
平面上に AOABがあり,OA=5, OB=6, AB=7 とする。また, △OAB の垂
421
OOOO0
小題24
心をHとする。
) cos ZAOBを求めよ。
XA=4, OB=6とするとき, OH をa, ōを用いて表せ。
p.400 基本事項回
重要28
三角形の垂心とは,三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり,
AOAB の垂心Hに対して、OAIBH, OBIAH, ABIOH
が成り立つ。
そこで,OAIBH といった図形の条件をベクトルの条件に
直して解く。(2)では OH=sā+tb とし, OA-BH=0,
OB-AH=0 の2つの条件から, s, tの値を求める。
1章
4
H
A
'B
それ
解答
52+6°-72
12
1
(1) 余弦定理から
coS ZAOB=
参考 |ABP=5-āP
ーパ-25-6+2P
IABI=7, āl=5, =6で
あるから 7°=6°-25·ā+5°
よって a5=6
60-。
三
2.5-6
5
(2) (1) から
1
a5=a||||cos ZAOB=5·6·==6
5
A0AB は直角三角形でないから,垂心Hは2点 A, Bと
一致することはない。
Hは垂心であるから
OH=sa+tó (s, tは実数)とする。
『 OAIBHより OA·BH=0 である
a-(sa+(t-1))=0
slaf+(t-1)a-5=0
OAIBH, OBIAH
0
垂直→ (内積)%3D0
(BH=OH-OB
UD
から
よって
a=5, à-5=6
B
25s+6(t-1)=0
の
ゆえに
A
すなわち 25s+6t=6
O 垂直→(内積)3D0
また,OBIAHより OB·AH=0 であるから
6-((s-1)G+5)=0
(s-1)a-5+t5=0
AH=OH-OA
よって
-5-6, =6
6(s-1)+36t=0 すなわち s+6t=1
19
ゆえに
4O-2から
0, 2から
5
S=
24
24s=5
t=
144
195
a+
144
5
したがって
OH=
また。
位置ベクトル、ベクトルと図形
