重要例題)150 指数関数の最大 最小 (2) 酢 O
OO00
ソ=9*+9-*-3'+x_3'-x+2 について
(1) t=3*+3-x とおいて, yをtの式で表せ。
(2) yの最小値と,そのときのxの値を求めよ。ち
基本144,16
CHART
OLUTION
a*+a-2x, a*+a-* の関数の最大最小
おき換え [α+a-*=t] でtの関数へ 変域に注意。
(2) tの変域は, 3*>0, 3-*>0 であるから,(相加平均)2(相乗平均)を利用
て求めることができる。 yはtの2次式で表され, 2次関数の最大·最小の画
MOM
題に帰着。
解答
*+a?
=(a+a-}}-2a
=(3*+3-*)?-2=ピー2
3'+x+3'-x=3(3*+3-*)=3t
y=-2-3t+2
y=t-3t
=(a+a"}-2
よって
ゆえに
(2) 3*>0, 3-*>0 であるから, 相加平均と相乗平均の大小関
係により
等号は, 3*=3-X すなわち x=0 のとき成り立つ。
合 (相加平均)2(相乗平均
a>0, b>0 のとき
atbz(ab
3*+3-*22/3*.3-*=2
2
も
a=b のとき等号成立
2次式は基本形に変形。
よって
t22
また
ソ=P-3t
9
ソー-3t
(t22)
参考 y=3*+3-* のグラブ
4y=3+3-
2
4
を
t22 の範囲において, yは
t=2 で最小値-2をとる。
t=2 のとき
よって,yは
3
22
x=0
くなく一
-2
9
「最小
1
ソ=31
=0 で最小値 -2
ソ=3*
3612
をとる。
0
