09 1辺の長さ1の正三角形 ABCにおいて, BCを1:2に内分する点を D, CAを1:2に内分する点
を E, AB を1:2に内分する点をFとし, 更に BE と CFの交点をP, CF と AD の交点をQ,
ADと BE の交点をRとする。このとき, △PQR の面積を求めよ。
(15 千葉大)
C
考え方
S
AABD と直線 CF, △ADC と直線 BE にそれぞれメネラウスの定理を適用し, AQ: QR: RD を求める。
同様にして CP: PQ:QF を求める。
三角形の底辺の比と面積の比の関係を利用して, △ABC: △PQRを考える。
(a8)
解答
be
△ABD と直線 CF において, メネラウス
の定理により
A
2
F
AF.BC. DQ
=1
FB CD QA
E
B
C
1.3. DQ
=1
22 QA
B
C
ゆえに DQ:QA=4:3 …①
△ADC と直線 BE において, メネラウスの定理により
AR DB CE
RD BC EA
-=1
JE
R
AR 1.1
=1
B
RD 3 2
D
ゆえに AR:RD = 6:1 …②
0, のから AQ:QR:RD= 3:3:1
A。
同様にして CP: PQ: QF=3:3:1
RO
よって
ACAF と直線 BE において、
メネラウスの定理により
APQR=-ACQR =
2
1.3
△CAD
27
FP:PC=D4:3
ACFB と直線AD において、
1.3.2
273
- = △ABC
△ABC
メネラウスの定理により
CQ:QF = 6:1
が求められる。
