Mathematics
高中
已解決
数学の質問です。
困っています。助けてください。
数3 基礎問題精講 42番、数列の極限(無限等比数列)の問題です。
何回も理解しようと、解説を読みましたが、理解できない点があります。
(1)(2)において収束することは、わかりますしたが、
ここで、(3)と(4)において、
添付している画像の2枚目の注の部分の文章に、逆数を作れば0<1/r<1となり、収束させることができるとありますが、
すべて逆数を取れば収束するのでしょうか?
この問題に限らず、無限等比級数の問題には、発散するものはありますか?
質問の意図がわかりにくくて、すみません。
ご教授ください。
42 数列の極限(IⅡ)
n+1
1+rn
第n項が
合について調べよ。
(4) rく-1
(3) r>1
(2) -1<r<1
(1) r=1
2→ 00
精講
うになります。
極限値0(-1<r<1)]
収束
極限値1(r=1)
limr"=
+0
n→ 0
発散
振動する(rミー1)
この基礎問は誘導がついていますが,このことを頭に入れておけば,自力で
場合分けをすることができます。
しかし,この問題は式が分数の形をしていますから,limr”, limr"+1
を求
n→0
n→0
めたとしても不定形になる可能性があります。
解答
アれ+1
(rキー1)とおく.
1+r
(1) ア=1のとき、dn=;
2
lim an
(収束)
2
三
れ→ 0
(2) -1<r<1 のとき, limr"=lim r*+1=0 だから,
n→ 0
n→ 0
lim an=0 (収束)
n→ 0
0
(3) r>1 のとき,an=-
0以外の定数
は0
r
れ
(分子,分母をr"でわっ
ァ>1 のとき, limr" は発散しますが, 逆数をっくれば 0<1。
lim an=r (収束)
n→ 0
1のとき,limr" は発散しますが,逆数をつくれば 0<l。
n→ o
1
=0 と収束させることができます。次の(4)も同じ要
となり, lim
r
n→ 0
領です。
r
く-1 のとき, an=
n
+1
r
1<よ<0 だから, lim(-)
n
=0
r
r
n→0
lim an=r(収束)
n→ 0
こ
解答
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