AB=BC=CA または ZA=DZB= ZC を示す
EX 53 AABCの内心と重心が一致するとき, △ABC は正三角形である。
外心·内心重心が一致する三角形 (証明)
基礎例題 53
基礎例題 50~52
次の条件を満たす△ABC は正三角形であることを示せ。
(1) 重心と外心が一致する。
(2) 外心と内心が一致する。
CHART
QGUIDE)
AABCが正三角形であることの証明
…3つの辺の垂直二等分線の交点
*3つの辺の中線の交点
……3つの角の二等分線の交点
外心
重心
これらの性質を利用する。
内心
日解答日
(1) AABC の重心と外心が一致するとき,
その点をGとする。
点Gは重心であるから, 直線 AGは辺
重心
G
BC の中点Dを通る。
の
また,点Gは外心でもあるから, Gは線
分 BCの垂直二等分線上にある。
よって, ①から, 直線 AD は辺 BC の垂直二等分線である。
B
D
C
外心
ゆえに
AB=AC
同様にして
BA=BC
よって
AB=BC=CA
したがって, △ABC は正三角形である。
(2) △ABC の外心と内心が一致するとき, その点をOとする。
点0は外心であるから OB=OC
ゆえに
ZOBC=Z0CB
内心
また,点0は△ABC の内心でもあるから
ZB=22OBC
ZC=2Z0CB
の~のから
ZB=ZC
ZA=ZC
ZA=ZB=ZC
したがって, AABCは正三角形である。
B
D
C
同様にして
よって
BAA
せ。
