Question

魚見さん

青線の式の出し方と
赤線の"＋１"の意味を教えてほしいです。

[復習問題]
m は自然数で a は定数とする。
4,
0y 平面上の点(a, m)を頂点とし,原点と点
(2a, 0)
を通る放物線を考える。この放物線と x 軸で囲まれる領城の面積を Sm,この領域の内部
および境界線上にある格子点の数を Lm とする.このとき極限値 lim
Lm
を求めよ、た
*し 2y 平面上の格子点とはその点のx座標と u座標がともに整数となる点のことである。
ガ一→ Sm
(98 京大·理系)

頂点がy軸上に来るようにェ方向に平行移動した
m(1-)で考える。
9=
m
1 m
Sm
6
-(2a))=am
m(1-
g?
図の線分 PQ上の格子点の -a
個数を1とおくと,
P
0
k
4=m(1-)) +1 (I ]は整数部分を表す)
より、m(-)4m(1-)
SlSm(1-
+1
これと,Lm=lo+2(Z+l2+…+la) とから,
m+1+2 Em(1--
k=1
Sm+1+22{m(1--)+1}
k=1
: m+2(1-)
+1SLm
k=
Sm{1+2
k=1
(1-)+1
+1+2a
m→00 のとき,上式の最左辺と最右辺を Sm=。
-am で
3
割ったものは,ともに+?(1-)…
4a
k=1
に収束するから,挟み撃ちの原理により,
Lm
lim
Sm
m→c
3
-{1+2a-
4a
1
1
a(a+i
ニ
? 3
a+1
3-
a
1.
三
4a
4a?
注1 0の左側の等号は成り立ちませんが,極限を
とるのだから,細かいところにこだわるのはソン。
命注2 @でさらに a→o にすると,③→1

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

イトカズ

2枚に分けますm(_ _)m
青線⇒x²の係数を求めれば得られます。
赤線⇒x軸上(y=0)の格子点分が+1を表しています。

魚見さん

回答ありがとうございます！

この問題だと、１を加えたりしていませんが
どんな違いがあるんですか？

イトカズ

指定されている領域をしっかり確認して下さい。

魚見さん

あぁ！たしかにそうですね！

つまらない質問してしまって、ごめんなさい。

丁寧に教えてくださってありがとうございました！

魚見さん

あと１つだけ質問させてください。

放物線を平行移動したのは、領域内部および境界線上にある格子点の数（Lm）を求めるのに、y軸の対称性を利用するためですか？

イトカズ

対称性を利用して計算を楽にするために移動していますねm(_ _)m