P。くPく……く P。くP.o=P, Po=Pu>Pa>…
n23 とし, n回目で終わる確率を Pnとするとき
重要例題50 反復試行の確率 P, の最大
り返しくじを引くものとする。ただし, 一度引いたくじは毎回もとに戻す。
O0Od 8
n
(1) Pnを求めよ。
(2) Pnが最大となるnを求めよ。
【類名古屋市大)
CHARTO
OLUTION
|基本 45,47
Pat1 をとり、 1との大小を比べる
Pn
確率の大小比較 比
) P. が最大となるnの値を求めるには, P++1 と P,の大小を比較すればよい。
確率の問題では, Pnが負の値をとらないことと, Pnがnの累乗を含む式で表
2章
5
Pn+1
されることから,比
をとり,1との大小を比べる とよい。
Pn
解答)
(1) n回目で終わるのは, (n-1)回目までに2回当たりくじ |(2) P.t
を引き,n回目に3回目の当たりくじを引く場合であるから
2 2/8 )n-3
2
P=n-1C2l
10
10ノ 10
.a-1)a-2(4))
13
(マ)(
742-3
………P』のnの代わり
5
にn+1とおいたもの。
き, nの値
の値も増
1 (n-1)(n-2)
n-2
ニ
P。
2
5
2
4n
nの値が
5(n-2)
の値は減少
Pa>1とすると
15(n-2)>0 であるから,
不等号の向きは変わら
4n
P。
5(n-2)
で学習する。
すなわち 4n>5(n-2)
Pas1 -
ない。
これを解くと n<10
さPn+1 1とすると n>10
P。
P。の大きさを棒の高さ
で表すと
最大
1 とすると n=10
P。
よって, 3<n<9 のとき
Pn<Pn+1,
P=Pn+1
P> Pn+1
n=10
のとき
のとき
増加
11Sn
ゆえに
の
34
91011 12
n=10, 11
PRIN
確率
308、
