OOOO00
重要例題71 2変数関数の最大·最小
x, yを実数とするとき,x°-4xy+7y"-4y+3 の最小値を求め, そのと。
のx, yの値を求めよ。
基本 57
CHART
S
OLUTION
前の例題のようなxとyの間の関係式(条件式という)がないから, この例題の
xとyは互いに関係なくすべての実数値をとる変数である。 難しく考えず, まず
yを定数と考えて, 式をxの2次関数とみる。そして
基本形 a(x-b)?+q に変形する。
そして,更に残った定数項q(yの2次式) も
(実数)20
基本形 6(y-r)。+s に変形する。
ここで,次の関係を利用する。
実数X, Yについて X?20, Y220 であるから,
ax°+bY?+k (a>0, b>0, kは定数)は
X=Y=0 で最小値んをとる。
解答)
x°-4xy+7y?-4y+3
yを定数と考え, xにつ
いて平方完成。
inf. xを定数と考えて
平方完成すると次のように
なるが,結果は同じ。
7y°-4(x+1)y+x+3
={(x-2y)?-(2y)?}+7y?-4y+3
=(x-2y)?+3y?-4y+3
=(x-2y)?+3}{{y
2?
5
=(x-2y) +3[y
ールー2
3
x, yは実数であるから
2
(x-2y)20, (yー) 20
=7yー2(x+1)}P
したがって, x-2y=0, y- =0 すなわち
2
3
4
5
エー
3
x=, y=ーで最小値をとる。
4
3,リミ
5
3
ありがとうございます！