Question

分科仔

求解

.設a1,a2,a3,04 為非零實數形成的等比數列。若方程式 ax + ax + aax + aa=0有m 個實
根,n 個虛根,請選出正確的選項。
(1) (m,n)=(3,0)
(2) (m,n) = (2,1)
(3) (m, n)=(1, 2)
(4)(m, n)=(0,3)
(5)條件不足,無法判定m,n之值

Answer 1

我就是我

實係數的一元三次方程式的根只可能為一實(重根)零虛、一實兩虛、兩實(重根)零虛、三實零虛
(可以想一下一元三次方程式在平面座標的樣子，至少會和x軸有一個交點，也就是至少有一個實根。重根的話就是圖形剛好切到x軸)
(另外也可以從i的性質來想，要兩個i才能乘出實數，所以虛根會成對出現)
因此可以直接刪去題目的2 4選項

設方程式有b c d這三個根，a1 a2=a1r a3=a1r² a4=a1r³
此方程式可以表示成a1(x-b)(x-c)(x-d)=a1[x³-(b+c+d)x²+(bc+bd+cd)x-bcd]
此方程式也等於a1x³+a2x²+a3x+a4=(a1)x³+(a1r)x²+(a1r²)x+(a1r³)=a1[x³+(r)x²+(r²)x+(r³)]
比對係數可得b+c+d=-r bc+bd+cd=r² bcd=-r³
r⁴=(r²)²=(-r)*(-r³)
(bc+bd+cd)²=(b+c+d)bcd
b²c²+b²cd+bc²d+b²d²+bcd²+c²d²=b²cd+bc²d+bcd²
消去等式左右相同的項之後剩下b²c²+b²d²+c²d²=0，此式的b c d若為三實數的話只能是0
但若方程式的其中一根為0，a4就要為0，與題目矛盾，故此方程式為一實根兩虛根

分科仔

謝謝 很清楚☺️

Answer 2

仲遠

設a1=a、a2=ar 、a3=ar^2、a4=a^3代入多項式，消a後，套等比級數公式，令分子等於0

分科仔

謝謝☺️