Question

もみじ

どうして０以上になるのかわかりません

重要例題 71 2変数関数の最大 最小
のOO00
x, yを実数とするとき, xー4.xy+7y°-4y+3 の最小値を求め, そのとき
のx,yの値を求めよ。
基本 57
CHARTO OLUTION
前の例題のようなxとyの間の関係式 (条件式という)がないから, この例題の
xとyは互いに関係なくすべての実数値をとる変数である。 難しく考えず, まず
を定数と考えて、 式をxの2次関数とみる。 そして
基本形 a(x-p)+q に変形する。
そして、更に残った定数項q (yの2次式)も
基本形 6(y-r) +s に変形する。
(実数)20
ここで,次の関係を利用する。
実数X,Yについて X°20, y"20 であるから,
ax°+bY?+k (a>0, b>0, kは定数) は
X=Y=0 で最小値ををとる。
解答
x-4xy+7y?-4y+3
={(x-2y)?-(2y)+7y°ー4y+3
=(x-2y)°+3y?-4y+3
合ッを定数と考え, xにつ
いて平方完成。
inf。 xを定数と考えて
平方完成すると次のように
なるが、結果は同じ。
7y-4(x+1)y+x'+3
2(x+1)?
V
+3
=x-29)"+{y-})+
5
ール
x, yは実数であるから
+x+3
7
(x-2y)20, (y-)20
したがって, xー2y=0, y--
2
=0 すなわち
3
4
x==で最小値をとる。
3'

2,そを奥数とるとき, ピーー4ルg+ばー43の飯い仕とずめ
そのときの、℃.その1値
fス)- つピー4x4+18-48+3
=(-238ーy+3
*につり1平や完成
(aーョア+3(4号アー
(ス-22)+3(はー
2
60-24)20, (は-) ミ0
? ニこか3理師不能
一3

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ゆい

どんな数も二乗すると0以上になりますよ。
例 仮にカッコ内がマイナスの値でも、マイナス×マイナスはプラスですよね

もみじ

あ、そうですね、つまらない質問をしてしまいました……
えぇと、次の式もよくわからなくて……
どうして０になるのでしょうか？もしかして、敢えて０にしているのですか？

ゆい

いえいえ、大丈夫ですよ
この問題は最小値を求める問題です。
回答の通り5/3は確定で、その前の2つのカッコ内の値はx,yによって変化します。
ふたつのカッコの値を〇 △と置くと
〇+△+5/3という式になりますよね？この式の値を最も小さくしたい場合〇と△がどちらも0であればいい訳です。(〇、△はどちらも0以上であるため)

もみじ

あ！なるほど、すごくわかりやすい説明ありがとうございます！