(1) 関数 f(x) = (x+a)e*" が, f'(0) =D 3, f"(0) = -2 を満たすとき、
(2) y=e-"cosbx のとき, y"+ 2ay' + (α°+6)y = 0 を示せ。
例題 155 第2次導関数
定数a, bの値を求めよ。
(式変形)… = 0を示す。
, y”を計算して, (__の左辺)
y、=-ae" cos bx -be
見方を変える
三**
(2) 素直に考えると…
もう1度微分するのは大安
一
'sin bx
これはもう1度微分しやす。
=ーay-be-a"sin bx ←-
=yであるから
Action》 第2次導関数f"(x) は, f(x) をxで微分せよ
f(x), f"(x)を求める。
(eoxy = bee
闇(1) f(x) = 1·e + (x+a)·bex
= (bx+ab+1)e*x
f"(x) =D b·eo* +(bx+ab+1)·bebx
= 6(bx +ab+2)ebt
f(0) = ab+1==3
f"(0) = b(ab+2) = -2
mitni
よって
0より
ab= 2
これを2に代入すると
6=-
2
16(2+2) = -2
これより
a= -4
したがって
a= -4, 6= -
2
(2) y=e-ax cosbx
0とする。
y=-ae ax . cosbx+e-ax. (-bsinbx)
これに0を代入して整理すると
y= -ay-be-a" sinbx
2の両辺をxで微分すると
さらにxで微分して
をxの式で表し、ゾ-
を与えられた等式に
して証明してもよい
計算が複雑である。
hol
…2
y= -ay' +abe ax . sinbx-be-ax. bcosbx …3
ここで,2より
be-ax sinbx = -y-ay
これと0を3に代入して整理すると
y"=-ay' +a(-yーay)-ピッ
したがって
y"+2ay' + (α°+6°)y= 0
考のプロセス
